Ασκήσεις Γραμμικής Άλγεβρας, Φυλ. 9

Παράδοση 3/12/01

1. Καθορίστε όλα τα εσωτερικά γινόμενα επί ενός πραγματικού διανυσματικού χώρου διάστασης 2.
2. Αποδείξτε ότι επί ενός πραγματικού διανυσματικού χώρου $Ε$ διαστάσεως 1 η γωνία δεν εξαρτάται από το εσωτερικό γινόμενο.
3. Έστω $a,b$ με $a\neq b$ δύο δεδομένα διανύσματα ενός διανυσματικού χώρου $E$ επί του $\mathbb{R}$, ο οποίος είναι εφοδιασμένος με ένα εσωτερικό γινόμενο. Αποδείξτε ότι κάθε $x\in E$ τέτοιο ώστε $\vert\vert x-a\vert\vert + \vert\vert x-b\vert\vert=\vert\vert a-b\vert\vert$ γράφεται $x=\lambda a+ \mu b$ με $\lambda,\mu\in \mathbb{R}$ και $\lambda+\mu=1$.
4. Θεωρούμε επί του διανυσματικού χώρου $\mathbb{R}^3$ εφοδιασμένου με την κανονική βάση, το κανονικό εσωτερικό γινόμενο
   1. Επαληθεύστε ότι τα δανύσματα $v_1=(1,1,1)$, $v_2=(1,2,-3)$, $v_3=(5,-4,-1)$ είναι ανά δύο ορθογώνια. Συμπεράνετε μια ορθοκανονική βάση του $\mathbb{R}^3$.
   2. Καθορίστε τα μοναδιαία διανύσματα (δηλαδή αυτά με μήκος 1) τα οποία είναι ταυτόχρονα ορθογώνια με τα δύο διανύσματα $v_1-v_2$ και $v_1+v_3$.
   3. Καθορίστε τα διανύσματα τα οποία είναι ορθογώνια με το $2v_2+v_3$ και ταυτόχρονα ανήκουν σε ένα διανυσματικό υπόχωρο που γεννάται από τα $v_1-v_2$ και $v_1+v_3$.
5. Έστω ο διανυσματικός χώρος των πολυωνύμων
   $$E_n=\{P\in \mathbb{R}[x]: \deg{P}\leq n\}.$$
   Αποδείξτε ότι η απεικόνιση $f:E_n\times E_n \rightarrow \mathbb{R}$ ορισμένη ως εξής:
   $$f(P,Q)=\int_{-1}^1 P(x)Q(x) dx$$
   είναι ένα εσωτερικό γινόμενο.
6. Ένας πίνακας $Α\in \mathbb{R}^{n,n}$ λέγεται ορθογώνιος αν $A^t=A^{-1}$.
   1. Δείξτε ότι οι ορθογώνιοι πίνακες τάξεως $n$ σχηματίζουν μια ομάδα για τον πολλαπλασιασμό των πινάκων.
   2. Ο ανάστροφος ενός ορθογωνίου πίνακα είναι ορθογώνιος.
   3. Οι στήλες (και οι γραμμές) ενός ορθογωνίου πίνακα σχηματίζουν μία ορθοκανονική βάση.
   4. O πίνακας περάσματος από μία ορθοκανονική βάση σε μία άλλη ορθοκανονική βάση είναι ορθογώνιος.