Ασκήσεις Γραμμικής Άλγεβρας, Φυλ. 8

Παράδοση 19/11/01

1. Αποδείξτε ότι το σύστημα:
   $$\begin{pmatrix} 2x + 3y +z =4 \\ x+y-2z=1\\ x+4y+z=1 \end{pmatrix}$$
   έχει ακριβώς μία λύση.
2. Nα υπολογίσετε την ορίζουσα του πίνακα:
   $$\begin{pmatrix} a_0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} &a_n \\ -1 &... ...vdots & & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & & -1 & x \end{pmatrix}$$

3. Έστω $A$ αντισυμμετρικός πίνακας $n\times n$, δηλαδή $A^t=-A$. Να δείξετε ότι αν ο $n$ είναι περιττός, τότε $\det(A)=0$.
4. Έστω $A=(a_{ij})\in \mathbb{C}^{n,n}$. Θέτουμε $\bar{A}=(\bar{a_{ij}})$ (μιγαδική συζηγία). Δείξτε ότι $\det(\bar{A})=\overline{\det(A)}$. Δείξτε ότι οι πίνακες με $A^t=\bar{A}$ έχουν πραγματική ορίζουσα.
5. Έστω $A=(a_{ij})\in \mathbb{R}^{n,n}$. Για κάθε $\lambda\in \mathbb{R}$ θεωρούμε την συνάρτηση $D_\lambda=\det(A(\lambda))$, όπου $A(\lambda)$ είναι ο πίνακας $(a_{ij}+\lambda)$.
   1. Δείξτε ότι η απεικόνιση $D(\lambda):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, είναι πολυονυμική συνάρτηση βαθμού 1 ή 0.
   2. Υποθέτουμε ότι τα $D(\lambda_1), D(\lambda_2)$ είναι γνωστά για δύο τιμές $\lambda_1\neq \lambda_2$. Υπολογίστε το $D(0)=\det(0)$.
   3. Έστω $a,b$ δύο διαφορετικά στοιχεία του $\mathbb{R}$. Υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα
      $$\begin{pmatrix} \lambda_1 & b & \cdots & b \\ a & \lambda_2 & \... ...\\ \vdots &\ddots & \ddots & b \\ a & \cdots & a & \lambda_n \end{pmatrix}$$

6. Να υπολογίστουν οι ορίζουσες των πινάκων
   $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 ... ... & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$