Ασκήσεις Γραμμικής Άλγεβρας, Φυλ. 6

Παράδoση: 12/11/2001

1. Έστω $\phi$ η απεικόνιση από τον $\mathbb{R}^{2,2}$ στον $\mathbb{R}^{2,2}$ η οποία στον πίνακα $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ αντιστοιχεί τον πίνακα $\begin{pmatrix}a-d & -b-c \\ b+c & d-a \end{pmatrix}$. Δείξτε ότι είναι γραμμική απεικόνιση. Γράψτε μία βάση του $\mathbb{R}^{2,2}$ και υπολογίστε τον πίνακα της παραπάνω συνάρτησης ως προς αυτή την βάση. Βρείτε βάσεις του $ker{\phi}, im(\phi), im(\phi)\cap ker(\phi)$.
2. Αποδείξτε ότι το σύνολο $\{ 1+x, x+x^2,...,x^{n-1}+x^n\}$ είναι μία βάση του διανυσματικού χώρου $Ε_n$ των πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές με βαθμό μικρότερο του $n$. Έστω $\phi$ η γραμμική απεικόνιση από τον $E_2$ στον $Ε_3$ που καθορίζεται από την σχέση
   $$\phi(P)=xP+x^2 P^\prime,$$   $$\mbox{ όπου $P^\prime$\ παράγωγος του $P$}$$$$$$
   Καθoρίστε τον πίνακα της $\phi$ ως προς τις βάσεις $\{1,x,x^2\}$ και $\{1,x,x^2,x^3\}$ και τον πίνακα ως προς τις βάσεις $\{1+x, x+x^2, x^2\}$ και $\{1+x,x+x^2, x^2+x^3, x^3\}$.
3. Θεωρούμε δυο πίνακες $A\in \mathbb{R}^{n,p}$ και $B\in \mathbb{R}^{p,q}$ τους οποίους γράφουμε στην μορφή
   $$A=\begin{pmatrix}A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}$$    και $$Β=\begin{pmatrix}Β_{11} & Β_{12} \\ Β_{21} & Β_{22} \end{pmatrix}$$
   όπου $A_{11}\in \mathbb{R}^{n_1,p_1}$, $A_{12} \in \mathbb{R}^{n_2,p_2}$, $A_{21}\in \mathbb{R}^{n_2,p_1}$, $A_{22}\in \mathbb{R}^{n_2,p_2}$ με $n_1+n_2=n$ και $p_1+p_2=p$ και $B_{11}\in \mathbb{R}^{p_1,q_1}$, $A_{12} \in \mathbb{R}^{p_1,q_2}$, $A_{21}\in \mathbb{R}^{p_2,q_1}$, $A_{22}\in \mathbb{R}^{p_2,q_2}$ με $q_1+q_2=q$. Aποδείξτε ότι
   $$AB=\begin{pmatrix} A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21} & A_{11}B_{12} + A_{12}B_{22} \\ A_{21}B_{11}+A_{22}B_{12} & A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22} \end{pmatrix}$$
   Παράδειγμα: Aν ο $J$ είναι ο τετραγωνικός πίνακας $2n\times 2n$
   $$J=\begin{pmatrix} Ο & -I_n \\ I_n & Ο \end{pmatrix}$$
   όπου τα $Ο, Ι_n$ είναι οι τετραγωνικοί πίνακες $n\times n$, υπολογίστε τον $J^2$.
4. Θεωρούμε τον πίνακα
   $$A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 1 & 1 & 1 &1 \\ 1 & 1 & 1 &1 \\ 1 & 1 & 1 &1 \end{pmatrix}$$
   Δείξτε ότι ο πίνακας $Ι_4-Α$, όπου ο $Ι_4$ είναι ο ταυτοτικός $4\times 4$ πίνακας, δέχεται αντίστροφο πίνακα της μορφής $I-cA$.
5. Έστω $A,B$ πίνακες $n\times n$. Δείξτε ότι αν $Α$ αντιστρέψιμος και $AB=0$ τότε $B=0$ και αν $Β$ αντιστρέψιμος και $ΑΒ=0$ τότε $Α=0$. Εξ αυτού συμπεράνετε ότι αν $ΑΒ=0$ ή $Α=0$ ή $B=0$ ή $Α,Β$ μη αντιστρέψιμοι. Έστω $A$ τέτοιος ώστε $A^2=A$. Δείξτε ότι αν ο $A$ είναι αντιστρέψιμος τότε ο $Α$ είναι ο ταυτοτικός.
6. Ένας πίνακας θα λέγεται συμμετρικός αν $Α^t =A$. Δείξτε ότι οι συμετρικοί $n\times n$ αποτελούν υπόχωρο του συνόλου των $n\times n$ πινάκων. Βρείτε μία βάση του χωρου των συμμετρικών πινάκων και υπολογίστε την διάσταση του.