Ασκήσεις Γραμμικής Άλγεβρας, Φυλ. 5

Παράδoση: 5/11/2001

1. Θεωρούμε τους διαν. χώρους $E=\mathbb{R}^4$ και $F=\mathbb{R}^3$ και την συνάρτηση $f:E\rightarrow F$ η οποία στέλνει το $(x,y,z,t)$ του $E$ στο $(x+y,y-z,x+z)$ του $F$. Να δειχτεί ότι είναι γραμμική. Δώστε μια βάση του πυρήνα και της εικόνας. Ποιά είναι η τάξη της συνάρτησης?
2. Έστω $E=\mathbb{R}[x]$ ο χώρος των πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές και η απεικόνιση $f:P\rightarrow P^\prime$ του $Ε$ στο $Ε$. Να δειχτεί ότι η $f$ είναι γραμμική και να υπολογίσετε τον πυρήνα και την εικόνα της.
3. Θεωρούμε το ευθή άθροισμα $E=F\oplus G$ δύο διανυσματικών χώρων και $p:E\rightarrow E$ την συνάρτηση που ορίζεται στο τυχαίο $x=y+z$, $y\in F, z\in G$ ως $p(x)=y$ (προβολή στον πρώτο χώρο). Αποδείξτε ότι η $p$ είναι γραμμική συνάρτηση τέτοια ώστε $p^2=p$. Καθορίστε τους $ker p$ και $im p$. Θεωρήστε βάσεις $\{y_1,...,y_n\}$ του $F$ και $\{z_1,...,z_m\}$. Γράψτε μια βάση του $F\oplus G$ και εκφράστε την $p$ ως προς την βάση αυτή.
4. Θεωρήστε $p$ μία γραμμική συνάρτηση $E\rightarrow E$, τέτοια ώστε $p^2=p$. Nα δείξεται ότι ο πυρήνας και η εικόνα της $p$ είναι συμπληρωματικοί υπόχωροι του $E$.
5. Επαληθεύστε ότι το σύνολο των $2\times 2$ πινάκων με συντελεστές από το $\mathbb{R}$ της μορφής $\begin{pmatrix}a & b \\ b &c \end{pmatrix}$ είναι υπόχωρος του διαν. χώρου των $2\times 2$ πινάκων. Βρείτε μία βάση του.
6. Θεωρήστε τους $2\times 2$ πίνακες
   $$A=\begin{pmatrix}1 &0 \\ 0 &0 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 &0 \end{pmatrix}$$
   Να υπολογιστούν οι πίνακες $AB,BA,A^2,B^2,A^2-B^2, (A+B)(A-B)$.
7. Θεωρούμε τους πίνακες
   $$A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 &1 & 1 \\ 1 & 0 & -1\end{pmatri... ...\end{pmatrix}C=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 0\end{pmatrix}$$
   Υπολογίστε τους $AB,BA$. Nα βρεθεί μη μηδενικός πίνακας $D$ τέτοιος ώστε $DC=CD=0$.
8. Έστω $\phi$ η γραμμική απεικόνιση από τον $\mathbb{R}^3$ στον $\mathbb{R}^4$ ορισμένη από τον πίνακα
   $$A=\begin{pmatrix} 1 &2 & 3 \\ 2 &4 & 6 \\ -1 & 4 & 1 \\ 2 & -8 & -2 \end{pmatrix}$$
   όταν στον $\mathbb{R}^3$ και στον $\mathbb{R}^4$ θεωρήσουμε τις κανονικές βάσεις. Βρέστε βάσεις του πυρήνα και της εικόνας. Θεωρήστε τον ανάστροφο του πίνακα $Α$. Αυτός ορίζει γραμμική απεικόνιση $\phi^\prime$ από τον $\mathbb{R}^4$ στον $\mathbb{R}^3$. Βρέστε βάση του πυρήνα και της εικόνας της $\phi^\prime$.