Ασκήσεις Γραμμικής Άλγεβρας, Φυλ. 4

Παράδoση: 29/10/2001

1. Έστω $E_n=\{P\in \mathbb{C}[x]: P=0$    ή $\deg P \leq n\}$. Έστω $Α$ στοιχείο βαθμού $p$ του $\mathbb{C}$-διανυσματικού χώρου $Ε_n$. Θεωρούμε το σύνολο $F$ των στοιχείων του $E_n$ που διαιρούνται με το $A$ και $G=\{P\in E_n: P=0$    ή $\deg P <p\}$. Να δείξετε ότι οι $F,G$ είναι συμπληρωματικοί υπόχωροι του $E_n$. Ποιές είναι οι διαστάσεις αυτών των υποχώρων?
2. Μέσα στον χώρο $\mathbb{R}^4$ θεωρούμε τα διανύσματα $a=(1,1,1,0),b=(0,1,1,0),c=(0,0,-1,1), d=(0,-1,0,-1)$. Είναι τα $a,b,c,d$ γραμ. ανεξάρτητα? Από αυτά βρέστε το μέγιστο σύνολο γραμμικά ανεξαρτήτων διανυσμάτων και συμπληρώστε το σε μία βάση του $\mathbb{R}^4$, χρησιμοποιόντας τα διανύσματα της κανονικής βάσης $e_1,e_2,e_3,e_4$.
3. Θεωρούμε τον διανυσματικό χώρο $E_n$ της πρώτης άσκησης. Δείξτε ότι αν $P$ πολυώνυμο βαθμού $n$, τότε οι πρώτες $n$ παράγωγοι $P,P^\prime,...,P^{(n)}$ είναι βάση του $E_n$. Αν $a\in \mathbb{C}$, να υπολογίσετε την γραφή του πολυωνύμου $Q(x)=P(x+a)$ ως προς την παραπάνω βάση.
4. Ονομάζουμε πολυώνυμα του Tchebychev τα πολυώνυμα $T_n$, $n\in \mathbb{N}$ τέτοια ώστε
   $$\forall x\in [-1,1], T_n(x)=cos(nArccosx).$$
   Αποδείξτε την επαγωγική σχέση
   $$Τ_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x)$$
   Συμπεράνετε ότι τα $Τ_n$ είναι πολυώνυμα βαθμού $n$. Να δείξετετε ότι το σύνολο $\{Τ_0,...,Τ_n\}$ είναι μία βάση του διανυσματικού χώρου των πολυωνύμων $\mathbb{R}[x]$ με βαθμό το πολύ $n$.
5. Εξετάστε ποιές από τις παρακάτω συναρτήσεις από τον διανυσματικό χώρο $Ε$ στον διανυσματικό χώρο $F$ είναι γραμμικές και στην συνέχεια υπολογίσετε για αυτές τον πυρήνα και την εικόνα τους.
   1. $E=F=\mathbb{R}^2$.
      • $T(x,y)=(2x+3y,x)$
      • $T(x,y)=(y,x+y+1)$
   2. Έστω $\mathcal{F}((a,b),\mathbb{R})$ o χώρος των πραγματικών συναρτήσεων από το $(a,b)$ στο $\mathbb{R}$.
      • $Ε=F=\mathcal{F}((a,b),\mathbb{R})$, $T(f)(x)=(x^2+1)f(x)$.
      • $Ε=F=\mathcal{F}((a,b),\mathbb{R})$, $T(f)=\vert f\vert$.
6. Θεωρούμε τον χώρο των συνεχών συναρτήσεων επί του $\mathbb{R}$. Σημειώνουμε με $Τ$ την απεικόνιση η οποία σε κάθε συνάρτηση $f$ του $E$ στέλνει την συνάρτηση $F=T(f)$, ορισμένη από την σχέση
   $$\forall x \in \mathbb{R}, \;\;F(x)=\int_0^x f(t) e^{-t^2} dt$$
   Να δείξετε ότι η $Τ$ είναι γραμμική συνάρτηση. Είναι 1-1? Είναι επί?
7. Έστω $f,g$ γραμμικές συναρτήσεις $E\rightarrow E$ τέτοιες ώστε $g\circ f=0_E$, $f+g$ είναι 1-1 και επί. Να δείξετε ότι
   $$rank(f)+rank(g)=n$$

8. Έστω $Ε,F,G$ τρείς διανυσματικοί χώροι και $f:E\rightarrow F$, $\phi:E\rightarrow G$, με $\ker\phi \subset \ker f$. Να δείξετε ότι υπάρχει γραμμική συνάρτηση $h:G\rightarrow F$, τέτοια ώστε $f=h\circ \phi$.