Ασκήσεις Γραμμικής Άλγεβρας, Φυλ. 3

Παράδoση: 22/10/2001

1. Να δείξετε ότι τα διανύσματα, $v_1=(0,1,1,1)$, $v_2=(1,0,1,1)$, $v_3=(1,1,0,1)$, $(1,1,1,0)$, σχηματίζουν μία βάση του $\mathbb{R}^4$. Να εκφραστούν τα διανύσματα $(1,1,1,1)$ και $(1,0,0,0)$ σαν γραμμικοί συνδιασμοί της βάσης $\{v_1,...,v_4\}$.
2. Δείξτε ότι το σώμα $\mathbb{C}$ θεωρούμενο ως διανυσματικός χώρος επί του $\mathbb{R}$, είναι διάστασης 2. Πως πρέπει να εκλέξουμε το $z=a+ib$, ώστε τα $z$ και $\bar{z}$ να σχηματίζουν βάση του $\mathbb{C}$? Υπολογίστε τις συντεταγμένες του μιγαδικού αριθμού $x+iy$ ως προς την βάση $\{z,\bar{z}\}$
3. Έστω $Ε_\mathbb{C}$ διανυσματικός χώρος επί του $\mathbb{C}$. Να δείξετε ότι μπορούμε να εφοδιάσουμε τον $E_{\mathbb{C}}$ με την δομή διανυσματικού χώρου $E_{\mathbb{R}}$ υπέρ το $\mathbb{R}$. Αν ο $E_\mathbb{C}$ είναι πεπερασμένης διάστασης, να δείξετε ότι και ο $E_\mathbb{R}$ είναι πεπερασμένης διάστασης και μάλιστα ισχύει: $\dim_{\mathbb{R}} E_\mathbb{R}=2 \dim_\mathbb{R}E_\mathbb{C}$.
4. Έστω $Ε_\mathbb{C}=\mathbb{C}^2$. Να ορίσετε τον $E_\mathbb{R}$. Να δείξετε ότι ο $Ε=\{(x,y)\in \mathbb{C}^2 , x\in \mathbb{R}, y\in \mathbb{R}\}$, είναι υπόχωρος του $E_\mathbb{R}$ αλλά όχι του $E_\mathbb{C}$.
5. Σε ένα δ.χ. $E$ διάστασης 4 επί του σώματος $\mathbb{R}$, αναφερόμενοι στην βάση $\{e_1,...,e_4\}$, θεωρούμε τα διανύσματα:
   $$v_1=e_1+2e_2+ae_3+e_4,v_2=ae_1+e_2+2e_3+3e_4, v_4=e_2+be_3.$$
   Να καθορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς $a,b$, έτσι ώστε τα $v_1,v_2,v_3$ να είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Ποια σχέση υπάρχει τότε μεταξύ των $v_1,v_2,v_3$. Ποιά είναι η διάσταση του υπόχωρου $E^\prime$ που παράγεται από τα $v_1,v_2,v_3$? Δώστε μια βάση.
6. Έστω $E=\{f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}, f$    συνεχής$\}$, o διανυσματικός χώρος των συνεχών συναρτήσεων στο $[0,1]$. Έστω $F$ το σύνολο των συναρτήσεων που είναι σταθερές στο $[0,1]$, και έστω $G=\{g\in E: \int_0^1 g(t)dt=0\}$. Να δείξετε ότι $Ε=F\oplus G$.
7. Έστω $F_1,...,F_n$ υπόχωροι του δ.χ. $E$. Να οριστούν
   • Το $H=F_1+...+F_n$
   • Το ευθή άθροισμα $E=F_1\oplus ...\oplus F_n$.
   Nα αποδείξετε την ισοδυναμία των παρακάτω προτάσεων
   • $Ε=F_1 \oplus ... \oplus F_n$
   • $Ε=F_1+...+F_n$ και για κάθε $i\in \{1,...,n-1\}$, $(F_1+...+F_i)\cap F_{i+1}=\{0\}$.
   Αποδείξτε ότι
   $$\forall i \in \{1,2,...,n-1\}, (F_1+...+F_i)\cap F_{i+1}=\{0\} \Rightarrow \forall i\neq j F_i\cap F_j =\{0\}.$$
   Αποδείξτε ότι το αντίστροφο δεν είναι σωστό.
8. Έστω $Ε$ ένας $K$-διανυσματικός χώρος διαστάσεως $n\geq 2$. Έστω $Β=\{e_1,...,e_n \}$ μία βάση του $E$. Τα σύνολα $B^\prime=\{e_1,e_1+e_2,...,e_1+e_2+...+e_n$ και $B^{\prime\prime}=\{e_1+e_2,e_2+e_3,...,e_{n-1}+e_n,e_n+e_1\}$ είναι βάσεις του $E$? Το σύνολο $S=\{e_i-e_j,1\leq i < j \leq n \}$, παράγει το $E$?