Ασκήσεις Γραμμικής Άλγεβρας, Φυλ. 2

Παράδoση: 12/10/2001

1. Εστω $E$ δ.χ. επί του σώματος $K$ και $F$ μη κενό υποσύνολο του $E$. Αποδείξτε ότι το $F$ είναι υπόχωρος του $E$ τότε και μόνο τότε αν
   $$\forall x\in F,\forall y \in F, \forall a\in K, \forall b\in K: ax+by \in F.$$

2. Αποδείξτε ότι η τομή δυο διανυσματικών υποχώρων $F$, $G$ του διανυσματικού χώρου $E$ είναι διανυσματικός υπόχωρος του $Ε$ . Έστω $E=\mathbb{R}^3$, $F$ παράγεται από τα $a=(1,0,0)$ και $b=(0,1,0)$ ενώ $G$ παράγεται από τα $(0,1,0)$ και $d=(1,0,1)$. Βρέστε τον $F\cap G$.

   Αποδείξτε ότι $F\cap G$ είναι διανυσματικός υπόχωρος του $E$ αν και μόνο αν $F\subset G$ ή $G \subset F$. Είναι δυνατόν η ένωση δύο γνήσιων υπόχωρων του $E$ να ταυτίζεται με τον $E$?

3. Έστω $E$ ένας διανυσματικός χώρος, $F,G$ υπόχωροι του $E$. Σημειώνουμε με $H$ το σύνολο
   $$H=\{z\in E: z=x+y , x\in F, y\in G\}$$
   1. Αποδείξτε ότι ο $H$ είναι υπόχωρος του $E$ τον οποίο θα συμβολίζουμε με $H=F+G$.
   2. Αποδείξτε ότι $F\subset H, G\subset H$ και ότι αν $H^\prime$ είναι υπόχωρος τέτοιος ώστε $F\subset H^\prime$ και $G \subset H^\prime$, τότε $H \subset H^\prime$.
   3. Αποδείξτε ότι $F\cap G=\{0\}$ αν και μόνο αν κάθε $z\in H$ γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως $z=x+y$ με $x\in F, y\in G$.
4. Επαληθεύσετε ότι το σώμα $K$ είναι ένας διανυσματικός χώρος επί του ευατού του, το οποίο θα σημειώνουμε με $(K)$.

   Δείξτε ότι οι μοναδικοί διανυσματικοί υπόχωροι του $(Κ)$, είναι το $\{0\}$ και το $(K)$.

   Έστω $K^\prime$ γνήσιο υπόσωμα του $K$ $(K^\prime \neq K)$. Είναι το $(K^\prime)$ διανυσματικός υπόχωρος του $(K)$? Δείξτε ότι το $Κ$ είναι ένας διανυσματικός χώρος επί του $K^\prime$. Εφαρμόστε το στο $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$.

5. Στον $\mathbb{R}^3$, αποδείξτε ότι τα διανύσματα $x_1=(2,1,1)$, $x_2=(1,3,1)$ και $x_3=(-2,1,3)$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα
6. Στον $\mathbb{R}^3$, αποδείξτε ότι τα διανύσματα $x_1=(1,0,3)$, $x_2=(0,1,2)$, $x_3=(2,-3,0)$ είναι γραμμικώς εξαρτημένα.
7. Θεωρόντας το σώμα $\mathbb{R}$ σαν διανυσματικό χώρο επί του σώματος $\mathbb{Q}$ των ρητών αριθμών αποδείξτε ότι οι αριθμοί $\{1,\sqrt{2},\sqrt{3}\}$ είναι ανά δύο γραμμικώς ανεξάρτητοι. Αποδείξτε ότι οι $\{1,\sqrt{2},\sqrt{3}\}$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητοι.
8. Αποδείξτε ότι μέσα στον διανυσματικό χώρο $E$ των συναρτήσεων $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, τα στοιχεία $f_1,...,f_n$, όπου $f_k(x)=sin(kx)$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.
9. Στον χώρο $C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})$ θέτουμε $s(x)=sin(x)$. Μελετήσατε την ανεξαρτησία της οικογένειας $(s,s\circ s, s\circ s \circ s)$.

Να γραφτείτε στην δημόσια λίστα μυνημάτων στην διεύθηνση

http:\\poseidon.math.uoc.gr\mailman\listinfo\gral

Εκεί θα δοθούν υποδείξεις σχετικές με την λύση των ασκήσεων.