Ασκήσεις Γραμμικής Άλγεβρας, Φυλ. 11

Παράδοση 17/12/01

1. Nα βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και τις ιδιοτιμές του πίνακα:
   $$A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -3 & 3\\ 3 & -5 & 3\\ 6 & -6 & 4 \end{array}\right).$$

2. Βρείτε τις ιδιοτιμές και μια βάση για καθέναν από τους ιδιόχωρους του πίνακα
   $$\left(\begin{array}{ccc}2& 1 & 0\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 2 & 4\end{array}\right).$$

3. Έστω $A\in K^{n,n}$ και $p$ το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του $A$. Αν $p(0)\neq 0$ να υπολογίσετε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του $A^{-1}$. Αποδείξτε ότι $p(A)=0$. Έστω $A\in \mathbb{C}^{n,n}$ και έστω ότι υπάρχει $k$ για τον οποίο $A^k=0$. Δείξτε ότι ένας τέτοιος πίνακας δέχεται μόνο την μηδανική ιδιοτιμή. Δείξτε ότι $Α^n=0$.
4. O πίνακας $Α= \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -2 & 9 \end{pmatrix}$ είναι διαγωνοποιήσημος? Θεωρούμε δύο ακολουθίες $(u_n)$ και $(v_n)$ που ορίζονται αναδρομικά ως εξής: $u_0=1,v_0=1$ $u_{n+1}=6u_n -2v_n$, $v_{n+1}=-2 u_n +0 v_9$. Υπολογίστε τα $u_n$ και $v_n$ συναρτήσει του $n$.
5. Είναι (για $t$ σταθερό) ο πίνακας $A= \begin{pmatrix} \cos(t) & -\sin(t) \\ \sin(t) & \cos(t) \end{pmatrix}$ διαγωνοποιήσιμος στο $\mathbb{R}$? Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία της γραμμικής απεικόνισης $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ που ορίζεται από αυτόν τον πίνακα? Να γράψετε τον $A$ σε διαγώνια μορφή στο σώμα $\mathbb{C}$.
6. (ΙΚΥ 1995) Έστω $Α$ διαγωνοποιήσιμος πίνακας $n\times n$, $f(t)$ αναλυτική συνάρτηση, δηλαδή η $f(t)$ δέχεται ανάπτυγμα σε δυναμοσειρά
   $$f(t)=\sum_{i=0}^\infty a_i t^i$$
   Δείξτε ότι υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας $Q$ και διαγώνιος πίνακας $D=diag(\delta_1,...,\delta_n)$ έτσι ώστε
   $$f(A)=Q diag( f(\delta_1),...,f(\delta_n) ) Q^{-1}$$

7. Έστω $E$ o διανυσματικός χώρος των πολυωνύμων βαθμού το πολύ $n$. Θεωρήστε την γραμμική απεικόνιση $L$ που ορίζει η παράγωγος. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές της και μία βάση για κάθε ιδιόχωρο. Μπορεί να γραφεί η $L$ σε διαγώνια μορφή?