Ασκήσεις Γραμμικής Άλγεβρας, Φυλ. 10

Παράδοση 10/12/01

1. Mέσα στον $\mathbb{R}^4$ εφοδιασμένο με το κανονικό εσωτερικό γινόμενο, θεωρούμε τον διανυσματικό υπόχωρο $F$ που γεννάτε από τα $v_1=(1,1,0,0)$, $v_2=(0,1,-1,1)$. Kαθορίστε μία ορθοκανονική βάση του χώρου $F_1:=\{y\in \mathbb{R}^4: \forall x\in F, \langle x,y \rangle=0$ και συμπληρώστε την σε μία ορθοκανονική βάση του $\mathbb{R}^4$.
2. Θεωρούμε τον χώρο $Ε_3$ των πολυωνύμων βαθμού μικρότερου ή ίσου του $n$, μαζί με το εσωτερικό γινόμενο:
   $$\langle P,Q \rangle =\int_{-1}^1 P(x)Q(x)dx$$
   Μία βάση του $Ε_3$ είναι τα $\{1,x,x^2,x^3\}$. Nα βρείτε μία ορθοκανονική βάση του $E_3$ αποτελούμενη από τέσσερα πολυώνυμα διαφόρων βαθμών και της οποίας το πρώτο στοιχείο να είναι το σταθερό πολυώνυμο. Να υπολογίσετε το πολυώνυμο $A(x)=a_1 +a_2 x + a_3 x^2 +x^3$, έτσι ώστε το ολοκλήρωμα $\int_{-1}^1 A^{2}(x)dx$ να είναι ελάχιστο.
3. Θεωρούμε τον διανυσματικού χώρο $\mathbb{R}^3$ εφοδιασμένο με την κανονική βάση και το κανονικό εσωτερικό γινόμενο. Δείξτε ότι τα διανύσματα $v_1=(1,0,1)$, $v_2=(0,1,1)$, $v_3=(1,1,0)$ σχηματίζουν μία βάση και υπολογίστε μία ορθοκανονική βάση της οποίας το πρώτο διάνυσμα να είναι της μορφής $a v_1$.
4. Έστω $E$ διανυσματικός χώρος και $F$ γνήσιος υπόχωρος. Ορίζουμε το ορθογώνιο συμπλήρωμα $F_1$ του $F$ ως τον διανυσματικό υπόχωρο $F_1:=\{y \in E: \forall x\in F \langle x,y \rangle=0\}$. Δείξτε ότι $Ε=F_1\oplus F$.
5. Ένας μηχανικός πέρνει πειραματικές μετρήσεις, με σφάλματα, και καταλήγει ένα σύνολο γραμμικών εξισώσεων της μορφής
   $$a_i x=b_i, \;\;\;1\leq i\leq 100.$$
   Είναι απίθανο όλες οι μετρήσεις που έχει κάνει να είναι ακριβείς όποτε το παραπάνω σύστημα δεν έχει λύση. Για να υπολογίσουμε την «καλύτερη» λύση εργαζόμαστε ως εξής: Ελαχιστοποιούμε τα σφάλματα, ελαχιστοποιόντας το
   $$\vert\vert ax -b\vert\vert^2=\sum_{i=1}^{100} (a_i x-b_i )^2.$$
   Δείξτε ότι η ελάχιστη τιμή του σφάλματος επιτυγχάνεται στο
   $$\bar{x}=\frac{a^t b}{a^t a}.$$

6. Θεωρήστε το σύνολο των παραγωγισίμων συναρτήσεων $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ για οι οποίες ταυτίζονται με την παράγωγο τους, δηλαδή $f(x)=f^\prime(x)$. Δείξτε ότι αποτελούν διανυσμάτικό χώρο. Αποδείξτε ότι κάθε τέτοια συνάρτηση είναι της μορφής $f(x)=\lambda e^x$.