Ασκήσεις Γραμμικής Άλγεβρας, Φυλ. 1

Παράδoση: 5/10/2001

1. Έστω $E,F,G,H$ σύνολα και έστω οι απεικονίσεις
   $$f:E \rightarrow F, g: F\rightarrow G, h: G \rightarrow H.$$
   Δείξτε ότι $g\circ f$ και $h \circ g$ είναι 1-1 και επί αν και μόνο αν οι $f,g,h$ είναι 1-1 και επί
2. Έστω $Ε$, ένα μη κενό σύνολο εφοδιασμένο με την πράξη $\star$, προσεταιριστική και τέτοια ώστε για κάθε $x\in E$, οι απεικονίσεις, $\gamma_x$ και $\delta_x$, ορισμένες ως εξής
   $$\gamma_x: \left\{ \begin{array}{lcr} E & \rightarrow & E \\ t & \mapsto & x \star t\end{array} \right.$$    και $$\delta_x: \left\{ \begin{array}{lcr} E & \rightarrow & E \\ t & \mapsto & t \star x \end{array} \right.$$
   να είναι επί. Να δείξετε ότι η $(E,\star)$ είναι ομάδα
3. Έστω $Ε$ ένα μη κενό σύνολο και $a$ ένα στοιχείο του $E$. Να δείξετε ότι το σύνολο των 1-1 και επί απεικονίσεων του $E$ επί του εαυτού του, οι οποίες αφήνουν το $a$, αμετάβλητο, σχηματίζουν ομάδα με πράξη την σύνθεση των απεικονίσεων.
4. Θεωρούμε το σύνολο
   $$K=\{a+\sqrt{2} b; (a,b) \in \mathbb{Z}^2 \}.$$
   Δείξτε ότι
   • Για κάθε $a,b \in \mathbb{Z}$, $(a+b \sqrt{2}=0) \Leftrightarrow (a=b=0)$
   • Αποδείξτε ότι το $(Κ,+)$, είναι προσθετική ομάδα.
   • Αποδείξτε ότι το γινόμενο δύο στοιχείων του $Κ$ ανήκει στο $Κ$.
   • Έστω η συνάρτηση $\phi : K \rightarrow \mathbb{Z}$, η οποία στέλνει το $a+b\sqrt{2}$ στο $\phi( a+b\sqrt{2})=a^2-2b^2$. Αποδείξτε ότι $\forall x,y \in K$, $\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)$.
   • Δείξτε ότι το σύνολο των στοιχειών του $Κ$ για τα οποία ισχύει $(\phi(x))^2=1$, αποτελούν ομάδα με πράξη τον πολ/σμο.
   • Είναι το $Κ$ σώμα με πράξεις την συνήθη πρόσθεση και πολλ/σμό?
5. Να κατασκευάσετε ένα σώμα με $3$ στοιχεία. Υπάρχει σώμα με τέσσερα στοιχεία?
6. Στο σύνολο $Ε$ των διατεταγμένων ζευγών από πραγματικούς αριθμούς, θέτουμε
   $$(x,y)+(x^\prime, y^\prime)=(x+x^\prime, y +y^\prime),$$
   $$\lambda(x,y)=(\lambda x,0).$$
   Οι παραπάνω πράξεις, ορίζουν διανυσματικό χώρο επί του σώματος των πραγματικών αριθμών?
7. Καθορίστε μεταξύ των παρακάτω συνόλων, αυτά τα οποία είναι διανυσματικοί χώροι επί του σώματος των πραγματικών αριθμών:
   • $\{f \in C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R}): f^\prime + 2f =0\}$, με $C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})$ συμβολίζουμε τις απειροδιαφορίσιμες συναρτήσεις από το $\mathbb{R}$ στο $\mathbb{R}$.
   • $\{f \in C([a,b],\mathbb{R}): \int_a^bf(t)dt=0 \}$, $C([a,b],\mathbb{R})$ συμβολίζει τις συνεχείς συναρτήσεις από το $[a,b]$ στο $\mathbb{R}$.
   • $\{P \in \mathbb{R}[x]: deg(P) \geq 4\}$
   • $\{P \in \mathbb{R}[x]: P^\prime$    διαιρεί το $P\}$