\documentclass[11pt]{article}
\makeatletter
\usepackage[ american,greek]{babel}
%\usepackage{textcase}
\usepackage{amsmath,amsfonts}
\usepackage[iso-8859-7]{inputenc}
%\usepackage{kerkis}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\sg}{\selectlanguage{greek}}
\newcommand{\sa}{\selectlanguage{american}}
\newcommand{\LyX}{L\kern-.1667em\lower.25em\hbox{Y}\kern-.125emX\spacefactor1000}
%\theoremstyle{plain}
\newtheorem{thm}{Theorem}[section]
%\newtheorem{or}{Ορισμός}
\numberwithin{equation}{section} %% Comment out for sequentially-numbered
\numberwithin{figure}{section} %% Comment out for sequentially-numbered
\newcommand{\bv}{\sa \begin{verbatim}}
\newcommand{\ev}{\end{verbatim} \sg}

\makeatother

\begin{document}                    
%\title{Σύντομος Οδηγός Χρήσης του \textlatin{gp-pari}}
%\author{A.K}
%\maketitle
\selectlanguage{greek}
\section*{Μικρή εισαγωγή στο \textlatin{gp-pari}.}
Στο σύστημα μας δίνουμε την εντολή 
\sa \begin{verbatim}
$ gp
\end{verbatim} \sg
και το σύστημα ανταποκρίνεται με 
\sa \begin{verbatim}
GP/PARI CALCULATOR Version 2.1.4 (released)
                i686 running linux (ix86 kernel) 32-bit version
                (readline v4.1 enabled, extended help available)

                       Copyright (C) 2002 The PARI Group

PARI/GP is free software, covered by the GNU General Public License, and
comes WITHOUT ANY WARRANTY WHATSOEVER.

Type ? for help, \q to quit.
Type ?12 for how to get moral (and possibly technical) support.

   realprecision = 28 significant digits
   seriesprecision = 16 significant terms
   format = g0.28

parisize = 4000000, primelimit = 500000
?
\end{verbatim} \sg
και είναι έτοιμο να δεχτεί εντολές.
Στο ερωτηματικό δίνουμε για παράδειγμα 
την εντολή 
\sa \begin{verbatim}
?Pi
\end{verbatim} \sg
οπότε πέρνουμε ως απάντηση το 
\sa \begin{verbatim}
%1 = 3.141592653589793238462643383
?
\end{verbatim} \sg
Μπορούμε να ορίσουμε με πόσα δεκαδικά σημαντικά ψηφία θέλουμε να 
γίνουν οι υπολογισμοί. Έτσι δίνουμε 
\sa \begin{verbatim}
? \p 1500
   realprecision = 1502 significant digits (1500 digits displayed)
? Pi
%2 = 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164
06286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408
12848111745028410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847
56482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737
24587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466
52138414695194151160943305727036575959195309218611738193261179310511854807446
23799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463
95224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127
14526356082778577134275778960917363717872146844090122495343014654958537105079
22796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499
99998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035
26193118817101000313783875288658753320838142061717766914730359825349042875546
87311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164
20198938095257201065485863278865936153381827968230301952035301852968995773622
59941389124972177528347913151557485724245415069595082953311686172785588907509
83817546374649393192550604009277016711390098488240128583616035637076601047101
81942955596198946767837449448255379774726847104047534646208046684259069491293
31367702898915210475216205696602405803815019351125338243003558764024749647326
39141992726042699227967823547816360093417216412199245863150302861829745557067
4983850549458858692699569092721079750930295
?
\end{verbatim} \sg
Το \textlatin{pari} ξέρει και από συναρτήσεις, έτσι ας δώσουμε 
\sa \begin{verbatim}
? (x^3-1)/(x-1)
%3 = x^2 + x + 1
\end{verbatim} \sg
ή ας υπολογίσουμε την σειρά \textlatin{Taylor} του $sin(x)$. 
\sa \begin{verbatim}
taylor(sin(x),x)
%4 = x - 1/6*x^3 + 1/120*x^5 - 1/5040*x^7 + 1/362880*x^9 - 1/39916800*x^11
+ 1/6227020800*x^13 - 1/1307674368000*x^15 + O(x^16) 
\end{verbatim} \sg
Αν δώσουμε 
\sa \begin{verbatim}
? 2/6
%5 = 1/3
\end{verbatim} \sg
Παρατηρήστε ότι στο τελευταίο αποτέλεσμα απλοποιήθηκε το κλάσμα, 
αλλά δεν υπολόγισε την δεκαδική παράσταση του ενός τρίτου. 
Αυτό είναι χαρακτηριστικό των προγραμμάτων που κάνουν πράξεις
{\em συμβολικά} σε αντίθεση με τους υπολογισμούς κινητής υποδιαστολής.
Για να δούμε τα πλεονεκτήματα των ακριβών υπολογισμών 
ας υπολογίσουμε την ορίζουσα ενός πίνακα του 
\textlatin{Hilbert} με ακριβή τρόπο και με υπολογισμό κινητής 
υποδιαστολής
\sa \begin{verbatim}
? \p 8
realprecision = 8 significant digits
? a=mathilbert(20);
? matdet(a)*1.
%6 = 4.2061789 E-226
? matdet(a*1.)
%7 = 2.3821891 E-147
\end{verbatim} \sg
Τα αποτελέσματα δεν έχουν καμία σχέση! 
Όπως θα μάθετε σε ένα μάθημα Αριθμητικής Ανάλυσης, 
οι πίνακες του \textlatin{Hilbert} έχουν 
{\em κακή κατάσταση} και οι πράξεις με αυτούς 
δεν δίνουν αξιόπιστα αποτελέσματα σε υπολογισμούς 
κινητής υποδιαστολής.

Ας κάνουμε έναν υπολογισμό ανάλυσης σε πρώτους παράγοντες
\sa \begin{verbatim}
? #
   timer = 1 (on)
? factor(12345672349872349823749823749238479238473298472398)
time = 450 ms.
%8 =
[2 1]

[124769 1]

[49040951 1]

[24614186399893 1]

[40985825646594117516397 1]
\end{verbatim} \sg
Ο ειδικός χαρακτήρας $\sharp$ που δόθηκε στην πρώτη γραμμή έχει σαν 
αποτέλεσμα το πρόγραμμα να μετράει τον χρόνο που έκανε 
για να πραγματοποιήσει ένα υπολογισμό. 
Το αποτέλεσμα της παραγοντοποίησης του \\
$12345672349872349823749823749238479238473298472398$ διαβάζεται ως εξής:
O υπολογισμός έγινε σε $450ms$ και ο αριθμός γράφεται σαν 
$2 \cdot49040951 \cdot 24614186399893 \cdot 40985825646594117516397  $.

Να δούμε ένα ποιο σύνθετο παράδειγμα το οποίο είναι ένα προγραμματάκι 
που υπολογίζει τους πρώτους αριθμούς του \textlatin{Mersenne}, 
δηλαδή τους πρώτους αριθμούς της μορφής $2^n-1$ για $n=1,200$. 
(ας σημειωθεί ότι ο μεγαλύτερος από αυτούς 
δηλαδή ο $2^{200}-1$ είναι αριθμός με $60$ δεκαδικά ψηφία. 
\sa \begin{verbatim}
? for(x=1,200,if(isprime(2^x-1),print(2^x-1)))
3
7
31
127
8191
131071
524287
2147483647
2305843009213693951
618970019642690137449562111
162259276829213363391578010288127
170141183460469231731687303715884105727
\end{verbatim} \sg
Από ότι βλέπετε δεν υπάρχουν και πολλοί πρώτοι του \textlatin{Mersenne}
Η λογική του προγράμματος αυτού είναι να διατρέξουμε όλους 
τους αριθμούς από το 1 μέχρι το 200 και να τυπώσουμε στην 
οθόνη μόνο τους πρώτους. 

Το \textlatin{pari} έχει ενσωματωμένο σύστημα βοήθειας. 
Έτσι δίνοντας ένα ερωτηματικό σαν εντολή μας εμφανίζει 
μια λίστα με τις συναρτήσεις που καταλαβαίνει, 
ενώ με ερωτηματικό ακολουθούμενο από μία εντολή μας δίνει 
την ακριβή της σύνταξη 
\sa \begin{verbatim}
? ?factor
factor(x,{lim}): factorization of x. lim is optional and can be set
whenever x is of (possibly recursive) rational type. If lim is set
return partial factorization, using primes up to lim (up to primelimit
if lim=0).
\end{verbatim} \sg

\end{document}
