\documentclass[11pt]{article}
\makeatletter
\usepackage[greek, american]{babel}
%\usepackage{textcase}
\usepackage{amsmath,amsfonts}
\usepackage[iso-8859-7]{inputenc}
%\usepackage{kerkis}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\sg}{\selectlanguage{greek}}
\newcommand{\sa}{\selectlanguage{american}}
\newcommand{\LyX}{L\kern-.1667em\lower.25em\hbox{Y}\kern-.125emX\spacefactor1000}
%\theoremstyle{plain}
\newtheorem{thm}{Theorem}[section]
%\newtheorem{or}{Ορισμός}
\numberwithin{equation}{section} %% Comment out for sequentially-numbered
\numberwithin{figure}{section} %% Comment out for sequentially-numbered

\makeatother


\begin{document}                    
\selectlanguage{greek}
\centerline{ \huge{Ασκήσεις Ελλειπτικών Καμπύλων}}
\centerline{ \large{2 Φυλλάδιο}}
\centerline{Παράδοση  Παρασκευή 26 Μαρτίου}

\begin{enumerate}
\item 
Θεωρούμε ένα ομογενές πολυώνυμο $f(x,y,z) \in k[x,y,z]$, 
βαθμού $n$.
Αποδείξτε ότι 
\[
\nabla f (x_0,y_0,z_0)= n f(x,y,z). 
\]
Δείξτε ότι στην περίπτωση ομογενών πολυωνύμων, το 
να ελέγξουμε αν ένα σημείο $(x_0:y_0:z_0) \in \mathbb{P}^1(k)$, 
είναι η όχι ιδιόμορφο αρκεί να κυτάξουμε μόνο τις 
μερικές παραγώγους του.
\item 
	Θεωρήστε την ελλιπτική καμπύλη στην ((μακρά)) μορφή του \textlatin{Weierstrass},
	\[
E:y^2z+a_1 xyz+a_3 yz^2 =x^3+a_2x^2z+a_4xz^2+a_6 z^3.
	\]
Διατυπώστε τον ορίσμο της χαρακτηριστικής ενός σώματος. 
Αποδείξτε ότι αν η χαρακτηριστική του σώματος $Κ$ είναι 
διαφορετική του $2,3$, τότε ο μετασχηματισμός
\[
x=x'-b_2/12, y=y'-\frac{a_1}{2} \left(
x' -b_2/12
\right) -a_3/2, 
\]
όπου $b_2=a_1^2+4a_2,$ φέρνει την ελλειπτική καμπύλη στην μορφή
\[
E: y^2=x^3 +ax +b,
\]
για κάποια κατάλληλα $a,b$. 
\item 
	Έστω $P,Q$ διαφορετικά ρητά σημεία της $Ε$ με συντεταγμένες
	$(x_1,y_1)$ και $(x_2,y_2)$ αντίστοιχα. Αποδείξτε ότι το 
	σημείο $P+Q$ αν $P\neq \pm Q$ έχει συντεταγμένες $(x_3,y_3)$ 
	που δίνονται από τον τύπο:
	\[
	x_3=\lambda^2 -x_1 -x_2, y_3=-\lambda x_3 -\nu, 
	\]
	όπου $\lambda=(y_1-y_2)/(x_1-x_2)$ και 
	$\nu=y_1-\lambda x_1$.
\item 
	Να χρησιμοποιήσετε ένα πρόγραμμα όπως το \textlatin{Maple}, 
	\textlatin{Mathematica} προκειμένου να σχεδιάσετε
	τις γραφικές παραστάσεις των 
	καμπύλων:
	\[
y^2=x^3-1,\quad, y^2=x^3+1, \quad y^2=x^3-3x+3
	\]
	\[
y^2=x^3-4x,\quad,y^2=x^3-x, \quad y^2=x^3. 
	\]
\item Θεωρήστε την ελλειπτική καμπύλη που ορίζεται από την 
	\[
	y^2z=x^3+axz^2+bz^3,
	\]
	σαν υποσύνολο του $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_p)$, 
	όπου $p$ πρώτος αριθμός και $\mathbb{F}_p$ είναι το 
	σώμα με $p$ στοιχεία. Αποδείξτε ότι 
	η ελλειπτική καμπύλη έχει πεπερασμένα το πλήθος 
	στοιχεία. Θεωρήστε το σύμβολο του 
	\textlatin{Legendre} $( \frac{\cdot}{p}$, και 
	απόδειξτε ότι το πλήθος των σημείων της 
	ελλειπτικής καμπύλης δίνεται από τον τύπο
\[
\# E(\mathbb{F}_p) =1 + q+ \sum_{x\in \mathbb{F}_p}
\left( 
\frac{ x^3 +ax+b}{p} 
\right).
\]
	
	
\end{enumerate}
\end{document}
