Ασκήσεις Αναλυτικής Γεωμετρίας

1 Φυλλάδιο

Παράδοση Δευτέρα 30 Οκτωβρίου

1. Να δείξετε ότι τα παρακάτω διανύσματα του χώρου είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
   1. $\overrightarrow{a}=(1,0,0),\overrightarrow{b}=(0,1,0),\overrightarrow{c}=(0,0,1)$
   2. $\overrightarrow{k}=(1,0,2),\overrightarrow{\ell}=(-1,2,1),\overrightarrow{m}=(1,1,1)$
2. Να δείξετε ότι τα διανύσματα $\overrightarrow{a}=(1,-2,3)$ και $\overrightarrow{b}=(-2,4,-6)$ είναι συγραμμικά.
3. Δίνονται τα διανύσματα $\overrightarrow{a}=(4,-2)$ και $\overrightarrow{b}=(3,5)$. Να γράψετε το διάνυσμα $\overrightarrow{c}=(1,-7)$ ως γραμμικό συνδιασμό των $\overrightarrow{a}$ και $\overrightarrow{b}$.
4. Θεωρούμε τα διανύσματα $\overrightarrow{a}=(2,\mu,\lambda+2)$ και $\overrightarrow{b}=(6,5\lambda+\mu-1, 6 + 3 \lambda)$. Να προσδιορίσετε τα $\lambda,\mu$ ώστε τα διανύσματα $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ να είναι παράλληλα.
5. Να δείξετε ότι τα διανύσματα $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$, $2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+ \overrightarrow{c}$, $8 \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}+ \overrightarrow{c}$ είναι συνεπίπεδα.
6. Να δείξετε ότι τα σημεία $A=(-2,2)$, $B=(10,5)$, $C=(2,-1)$, $D=(6,8)$ είναι κορυφές παραλληλογράμμου. Στην συνέχεια να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του.
7. Να υπολογισετε τη γωνία των διανυσμάτων $\overrightarrow{a}=(4,3)$ και $\overrightarrow{b}=(1,7)$ καθώς και των $\overrightarrow{c}=(2,5,4)$ και $\overrightarrow{d}=(6,0,-3)$.
8. Να υπολογιστεί η τιμή του πραγματικού αριθμού $k$ ώστε τα διανύσματα $\overrightarrow{a} + k \overrightarrow{b}$ και $\overrightarrow{a} - k \overrightarrow{b}$ να είναι κάθετα μεταξύ τους, αν γνωρίζουμε ότι $\vert\overrightarrow{a}\vert=3$ και $\vert\overrightarrow{b}\vert=5$ και ότι $\widehat{\big(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \big)}=\frac{2 \pi}{3}$.
9. Να υπολογιστεί το εσωτερικό και το εξωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων $\overrightarrow{a}=(1,2,3)$ και $\overrightarrow{b}=(4,5,6)$.