\documentclass[11pt]{article}
\makeatletter
\usepackage[greek, american]{babel}
%\usepackage{textcase}
\usepackage{amsmath,amsfonts}
\usepackage[iso-8859-7]{inputenc}
%\usepackage{kerkis}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\sg}{\selectlanguage{greek}}
\newcommand{\sa}{\selectlanguage{american}}
\newcommand{\LyX}{L\kern-.1667em\lower.25em\hbox{Y}\kern-.125emX\spacefactor1000}
%\theoremstyle{plain}
\newtheorem{thm}{Theorem}[section]
%\newtheorem{or}{Ορισμός}
\numberwithin{equation}{section} %% Comment out for sequentially-numbered
\numberwithin{figure}{section} %% Comment out for sequentially-numbered

\makeatother


\begin{document}                    
\selectlanguage{greek}
\centerline{ \huge{Ασκήσεις Αναλυτικής Γεωμετρίας}}
\centerline{ \large{1 Φυλλάδιο}}
\centerline{Παράδοση Δευτέρα 30  Οκτωβρίου}
\vskip
\begin{enumerate}
\item Να δείξετε ότι τα παρακάτω διανύσματα του χώρου είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{a}=(1,0,0),\overrightarrow{b}=(0,1,0),\overrightarrow{c}=(0,0,1)$
\item $\overrightarrow{k}=(1,0,2),\overrightarrow{\ell}=(-1,2,1),\overrightarrow{m}=(1,1,1)$
\end{enumerate}
\item
Να δείξετε ότι τα διανύσματα $\overrightarrow{a}=(1,-2,3)$ και $\overrightarrow{b}=(-2,4,-6)$ είναι συγραμμικά.
\item 
Δίνονται τα διανύσματα $\overrightarrow{a}=(4,-2)$ και $\overrightarrow{b}=(3,5)$. Να γράψετε το διάνυσμα
$\overrightarrow{c}=(1,-7)$ ως γραμμικό συνδιασμό των $\overrightarrow{a}$ και $\overrightarrow{b}$.
\item 
Θεωρούμε τα διανύσματα $\overrightarrow{a}=(2,\mu,\lambda+2)$ και $\overrightarrow{b}=(6,5\lambda+\mu-1, 6 + 3 \lambda)$.
Να προσδιορίσετε τα $\lambda,\mu$ ώστε τα διανύσματα $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ να είναι παράλληλα.
\item 
Να δείξετε ότι τα διανύσματα $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$, $2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+
\overrightarrow{c}$, $8 \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}+ \overrightarrow{c}$ είναι συνεπίπεδα.
\item Να δείξετε ότι τα σημεία $A=(-2,2)$, $B=(10,5)$, $C=(2,-1)$, $D=(6,8)$ είναι κορυφές παραλληλογράμμου.
Στην συνέχεια να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του.
\item Να υπολογισετε τη γωνία των διανυσμάτων $\overrightarrow{a}=(4,3)$ και $ \overrightarrow{b}=(1,7)$ καθώς και των 
$\overrightarrow{c}=(2,5,4)$ και $\overrightarrow{d}=(6,0,-3)$.
\item Να υπολογιστεί η τιμή του πραγματικού αριθμού $k$ ώστε τα διανύσματα $\overrightarrow{a} + k \overrightarrow{b}$ 
και $\overrightarrow{a} - k \overrightarrow{b}$ να είναι κάθετα μεταξύ τους, αν γνωρίζουμε ότι $|\overrightarrow{a}|=3$ και 
$|\overrightarrow{b}|=5$ και ότι $\widehat{\big(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \big)}=\frac{2 \pi}{3}$.
\item 
Να υπολογιστεί το εσωτερικό και το εξωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων 
$\overrightarrow{a}=(1,2,3)$ και $\overrightarrow{b}=(4,5,6)$.
\end{enumerate}
\end{document}
