Ημερολόγιο Μαθήματος Άλγεβρας
Εδω υπάρχουν σημειώσεις σχετικά με την
ύλη που καλύφτηκε σε κάθε μάθημα.

---

Δευτέρα 1 Μαρτίου 2004
Είσαγωγικό μάθημα. Υπενθύμιση βασικών εννοιών από την θεωρία συνόλων. Σχέσεις και συναρτήσεις. Τα σύνολα Ν,Ζ,Q,R,C και οι ανάγκες κατασκευής τους.
Η διαίρεση με πηλίκο και υπόλοιπο στο N, διαιρετότητα αριθμών, πρώτοι αριθμοί, ύπαρξη απείρων πρώτων.

Τρίτη 2 Μαρτίου 2004
Μονοσήμαντη ανάλυση ακ. αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, μέγιστος κοινός διαιρέτης. Σχέσεις ισοδυναμίας και το σύνολο πηλίκο, παραδείγματα.

Τρίτη 9 Μαρτίου 2004
Η έννοια της διμελούς πράξης σε ένα σύνολο. Παραδείγματα πράξεων. Ο πίνακας της πράξης στην περίπτωση πεπερασμένων συνόλων. Προσεταιριστικές πράξης, ουδέτερο στοιχείο.

Παρασκευή 12 Μαρτίου 2004
Αντίστοφο στοιχείο μιας πράξης. Ο ορισμός της ομάδας. Παραδείγματα. Ο πίνακας πράξης μιας ομάδας, ομάδες με ένα, δύο και τρία στοιχεία.

Δευτέρα 15 Μαρτίου 2004
Παραδείγματα ομάδων, υποομάδες, κριτήρια για να είναι ένα υποσύνολο ομάδας υποομάδα.

Δευτέρα 22 Μαρτίου 2004
Παραδείγματα υποομάδων. Ορισμός της ομάδας μεταθέσεων. Πράξεις με μεταθέσεις. Παραδείγματα ομάδων μεταθέσεων.

Τρίτη 23 Μαρτίου 2004
H ομάδα μεταθέσεων σε σύνολο με 3 στοιχεία σαν ομάδα συμμετριών ισόπλευρου τριγώνου. Η ομάδα συμμετριών του τετραγώνου σαν γνήσια υποομάδα της ομάδας μεταθέσεων συνόλου με τέσσερα στοιχεία. Τροχιές μίας μετάθεσης. Ανάλυση μεταθέσεων σε γινόμενο κύκλων και σε γινόμενο αντιμεταθέσεων. Το πλήθος των αντιμεταθέσεων είναι σταθερό mod2.

Παρασκευή 26 Μαρτίου 2004
Απόδειξη του ότι το πλήθος των αντιμεταθέσεων στην γραφή ενός κύκλου σαν γινόμενο αντιμεταθέσεων, είναι σταθερό mod2 με την βοήθεια οριζουσών. Πρόσημο μετάθεσης. Ορισμός των εναλλασουσών ομάδων, η τάξη της A_n. Κυκλικές ομάδες, υποομάδες κυκλικής ομάδας είναι όλες κυκλικές.

Δευτέρα 29 Μαρτίου 2004
Άπειρες κυκλικές ομάδες. Ορισμός του μέγιστου κοινού διαιρέτη σαν τον γεννήτορα της τομής υποομάδων των ακεραίων. Πεπερασμένες κυκλικές ομάδες. Τάξη στοιχείων σε πεπερασμένες κυκλικές ομάδες.

Τρίτη 30 Μαρτίου 2004
Παραδείγματα κυκλικών ομάδων. Οι ομάδες Z/nz και η ομάδα U_n των n-ιοστών ριζών της μονάδας. Η έννοια του ισομορφισμού ομάδων. Οι ομάδες Z/nZ και U_n είναι ισόμορφες. Ασκήσεις: Υπολογισμός του πλήθους των γεννητόρων των ομάδων Z_p^k, Z_{pq}, p,q πρώτοι.

Δευτέρα 19 Απριλίου 2004
Η σχέση ισοδυναμίας που ορίζεται από τα δεξιά και αριστερά σύμπλοκα μιας υποομάδας Η σε μια ομαδα G. Το θεώρημα του Lagrange, δείκτης υποομάδας σε ομάδα. Κάθε ομάδα τάξης πρώτου αριθμού είναι κυκλική. Παραδείγματα-Ασκήσεις.

Τρίτη 20 Απριλίου 2004
Η έννοια της κανονικής υποομάδες. Ισοδύναμα κριτήρια κανονικής υποομάδας. Παραδείγματα κανονικών και μη κανονικών υποομάδων. Υπομάδες δείκτη 2 είναι κανονικές. Ορισμός της ομάδας πηλίκου, παραδείγματα, ο ορισμός της απλής ομάδας.

Παρασκευή 23 Απριλίου 2004
Ομάδα πηλίκο και το θεώρημα ισομορφισμών ομάδων, παραδείγματα και ασκησεις.

Δευτέρα 26 Απριλίου 2004
Η αντιμεταθέτρια υποομάδα, αβελιανοποιήση. Παραδείγματα, Ασκήσεις. Γινόμενα ομάδων. Αναφορά στο θεώρημα ταξινόμισης των αβελιανών ομάδων πεπερασμένης τάξης. Παραδείγματα.

Τρίτη 27 Απριλίου 2004
Ομάδες τάξης μικρότερης του 7. Ορισμός του δακτύλιου, στοιχειώδεις ιδιότητες δακυτλίων. Ακέραιες περιοχές.

Παρασκευή 30 Απριλίου 2004
Ομομορφισμοί δακτυλίων, πυρήνας ομομορφισμού. Ορισμός Ιδεώδους, ο πυρήνας ως ιδεώδες, παραδείγματα.

Δευτέρα 3 Μαϊου 2004
Δακτύλιοι πηλίκα, πρώτο θεώρημα ισομορφισμών για δακτυλίους. Παραδείγματα. Μέγιστα και πρώτα ιδεώδη. Χαρακτηρισμός σωμάτων από τα ιδεώδη.

Τρίτη 4 Μαϊου 2004
Επαναληπτικές ασκήσεις για την πρόοδο.

Παρασκευή 7 Μαϊου 2004
Πρόοδος.

Δευτέρα 10 Μαϊου 2004
Κατασκευή του σώματος πηλίκων μίας ακαιρέας περιοχής.

Τρίτη 11 Μαϊου 2004
Ορισμός χαρακτηριστικής ακαιρέας περιοχής. Η ομάδα μονάδων μίας ακαιρέας περιοχής. Οι ακαίρεοι του Gauss, και οι μονάδες τους. Δακτύλιοι μοναδικής παραγοντοποιήσης. Παραδείγματα δακτυλίων μη μοναδικής παραγοντοποίσης, ιστορικά στοιχεία γύρω από το τελευταίο θεώρημα του Fermat. Δακτύλιοι κυρίων ιδεωδών. Κάθε αύξουσα ακουλουθία ιδεωδών σε δακτύλιο κυρίων ιδεωδών είναι τελικά σταθερή.

Παρασκευή 14 Μαϊου 2004
Απόδειξη ότι κάθε περιοχή κυρίων ιδεωδών είναι περιοχή μονοσήμαντης ανάλυσης

17-21 Μαϊου Πολιτιστική Εβδομάδα


Δευτέρα 24 Μαϊου 2004
Ορισμός του δακτυλίου πολυωνύμων R[x], όπου R είναι αντιμεταθετικός δακτύλιος με μονάδα. Πράξεις, υπολογισμός των αντιστρεψίμων στοιχείων. Δακτύλιοι πολυωνύμων περισσότερων από μίας μεταβλητής.