Τελική εξέταση Άλγεβρας

24 Ιουνίου 2004

1. Να οριστεί η ομάδα μεταθέσεων $S_n$. Ποιά είναι η τάξη της και γιατί. Πότε μία μετάθεση είναι άρτια? Να οριστεί η ομάδα των αρτίων μεταθέσεων $A_n$. Ποιά είναι η τάξη της $A_n$ και γιατί? Να αποδειχτεί ότι η $A_n$ είναι κανονική υπομάδα της $S_n$. Δίνονται οι μεταθέσεις
   $$\sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}$$    και $$\tau=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2 \end{pmatri... ...matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 3 & 4 & 5 & 2 & 1 & 7 & 6 \end{pmatrix}.$$
   Να υπολογιστεί το $\sigma^2 \tau \sigma$. Να γραφεί το $\phi$ σαν γινόμενο ξένων κύκλων.
2. Πότε μία ομάδα είναι κυκλική? Να αποδειχτεί ότι κάθε υποομάδα κυκλικής ομάδας είναι κυκλική.
3. Αν $H$ είναι κανονική υποομάδα της $G$ και $m=[G:H]$, να αποδειχτεί ότι $a^m\in H$ για κάθε $a\in G$.
4. Να αποδειχτεί ότι κάθε ομάδα με τάξη πρώτο είναι κυκλική.
5. Να δoθεί ο ορισμός της ακεραίας περιοχής. Να δoθούν παραδείγματα δακτυλίων που είναι ακέραιες περιοχές και δακτυλιών που δεν είναι.
6. Έστω $R$ αντιμεταθετικός δακτύλιος με μονάδα. Να δειχτεί ότι ο $R$ είναι σώμα αν και μόνο αν τα μοναδικά του ιδεώδη είναι τα τετριμμένα.
7. Να αποδειχτεί ότι κάθε ιδεώδες του $\mathbb{R}[x]$ είναι κύριο.
8. Δίνεται ο δακτύλιος $\mathbb{Z}[i]$ των ακεραίων του Gauß:
   $$\mathbb{Z}[i]=\{a+bi, a,b \in \mathbb{Z}\}, i\in \mathbb{C}, i^2=-1.$$
   Να υπολογιστεί η ομάδα των μονάδων του.
9. Ποιά από τα παρακάτω πολυώνυμα είναι ανάγωγα στο $\mathbb{Q}[x]$?
   $$x^3+3x+2, \;\; 25x^5-9x^4 + 3x^2-12, \;\; x^3+x-2.$$

Να απαντήσετε σε ακριβώς 8 θέματα

Διάρκεια διαγωνίσματος 2 ώρες και 45 λεπτά

Καλή Επιτυχία