\documentclass[12pt]{article}
\pagenumbering{none}
\makeatletter
\usepackage[german,american,greek]{babel}
\usepackage[iso-8859-7]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
%\usepackage{kerkis}
%\usepackage{talos}
\newcommand{\sg}{\selectlanguage{greek}}
\newcommand{\sa}{\selectlanguage{american}}
\newcommand{\LyX}{L\kern-.1667em\lower.25em\hbox{Y}\kern-.125emX\spacefactor1000}
%spacefactor\theoremstyle{plain}
\newtheorem{Th}{Θεώρημα}%[section]
%\numberwithin{equation}{section} %% Comment out for sequentially-numbered
%\numberwithin{figure}{section} %% Comment out for sequentially-numbered

\makeatother


\begin{document}
\centerline{{ \large   Τελική εξέταση Άλγεβρας  }}
\centerline{{ 24 Ιουνίου    2004 }}

\begin{center}
\rule{2cm}{2pt}
\end{center}



\begin{enumerate}
	\item  
		Να οριστεί η ομάδα μεταθέσεων $S_n$. 
		Ποιά είναι η τάξη της και γιατί. Πότε μία μετάθεση 
		είναι άρτια? Να οριστεί η ομάδα των αρτίων μεταθέσεων $A_n$. 
		Ποιά είναι η τάξη της $A_n$ και γιατί? 
		Να αποδειχτεί ότι η $A_n$ είναι κανονική υπομάδα της $S_n$. 
		Δίνονται οι μεταθέσεις 
		\[
		\sigma=\begin{pmatrix}
			1 & 2 & 3 & 4 \\
			2 & 3 & 1 & 4 
		\end{pmatrix} \mbox{ και } 
		\tau=\begin{pmatrix}
			1 & 2 & 3 & 4 \\
			3 & 1 & 4 & 2 
		\end{pmatrix}, 
		\phi=\begin{pmatrix}
			1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
			3 & 4 & 5 & 2 & 1 & 7 & 6
		\end{pmatrix}.
		\]
		Να υπολογιστεί το $\sigma^2 \tau \sigma$. Να γραφεί το 
		$\phi$ σαν γινόμενο ξένων κύκλων.
	\item
		Πότε μία ομάδα είναι κυκλική? Να αποδειχτεί ότι κάθε 
		υποομάδα κυκλικής ομάδας είναι κυκλική. 
	\item Αν $H$ είναι κανονική υποομάδα της $G$ και $m=[G:H]$, 
		να αποδειχτεί ότι $a^m\in H$ για κάθε $a\in G$. 
	\item Να αποδειχτεί ότι κάθε ομάδα με τάξη πρώτο είναι κυκλική. 
	\item Να δoθεί ο ορισμός της ακεραίας περιοχής. Να δoθούν παραδείγματα
		δακτυλίων που είναι ακέραιες περιοχές και δακτυλιών που δεν 
		είναι. 
	\item Έστω $R$ αντιμεταθετικός δακτύλιος με μονάδα. Να δειχτεί ότι ο 
		$R$ είναι σώμα αν και μόνο αν τα μοναδικά του ιδεώδη είναι τα 
		τετριμμένα. 
	\item Να αποδειχτεί ότι κάθε ιδεώδες του $\mathbb{R}[x]$ είναι κύριο. 
	\item Δίνεται ο δακτύλιος $\mathbb{Z}[i]$ των ακεραίων του \textlatin{Gau\ss}:
		\[
		\mathbb{Z}[i]=\{a+bi, a,b \in \mathbb{Z}\}, i\in \mathbb{C}, i^2=-1.
		\]
		Να υπολογιστεί η ομάδα των μονάδων του. 
	\item 
		Ποιά από τα παρακάτω πολυώνυμα είναι ανάγωγα στο $\mathbb{Q}[x]$?
		\[
		x^3+3x+2, \;\; 25x^5-9x^4 + 3x^2-12, \;\; x^3+x-2.
		\]
\end{enumerate}
\centerline{Να απαντήσετε σε ακριβώς 8 θέματα}
\centerline{Διάρκεια διαγωνίσματος 2 ώρες και 45 λεπτά}
\centerline{Καλή Επιτυχία}
\end{document}
