Προόδος Άλγεβρας

7 Μαϊου 2004

1. Να δείξετε ότι αν σε μια ομάδα κάθε στοιχείο έχει τάξη δύο, τότε η ομάδα είναι αβελιανή.

2. Να δείξετε ότι ο πυρήνας ενός ομομορφισμού $\phi:G \rightarrow G'$, είναι κανονική υποομάδα της ομάδας $G$.
3. Nα δείξετε ότι αν η $\phi$ είναι ομομορφισμός ομάδων, τότε η $\phi$ είναι 1-1 αν και μόνο αν ο πυρήνας της $\phi$ είναι η τετριμένη υποομάδα, δηλαδή $\ker{\phi}=\{1\}$.
4. Να υπολογιστούν όλες οι δυνατές αβελιανές υποομάδες με τάξη $24$.
5. Έστω $p$ πρώτος. Να δικαιολογήσετε γιατί οι ομάδες $\mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}_p$ και $\mathbb{Z}_{p^2}$ δεν είναι ισόμορφες.
6. Nα αποδείξετε ότι αν $n,m \in \mathbb{N}$ και $(n,m)=1$, τότε οι ομάδες $\mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_m$ και $\mathbb{Z}_{nm}$ είναι ισόμορφες.
7. Αν $Η$ υποομάδα της $G$, και $g\in G$, να αποδείξετε ότι το σύνολο
   $$gHg^{-1}=\{ghg^{-1} \vert h \in H\},$$
   είναι υποομάδα της $G$. Aν επιπλέον η $H$, έχει τάξη $s$, να δείξετε ότι και η ομάδα $g H g^{-1}$ έχει τάξη $s$. Nα δείξετε ότι η τομή όλων των υποομάδων της $G$ με τάξη $s$, είναι κανονική υποομάδα της $G$.

Διάρκεια διαγωνίσματος 2 ώρες

Καλή Επιτυχία