\documentclass[12pt]{article}
\pagenumbering{none}
\makeatletter
\usepackage[german,american,greek]{babel}
\usepackage[iso-8859-7]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
%\usepackage{kerkis}
%\usepackage{talos}
\newcommand{\sg}{\selectlanguage{greek}}
\newcommand{\sa}{\selectlanguage{american}}
\newcommand{\LyX}{L\kern-.1667em\lower.25em\hbox{Y}\kern-.125emX\spacefactor1000}
%spacefactor\theoremstyle{plain}
\newtheorem{Th}{Θεώρημα}%[section]
%\numberwithin{equation}{section} %% Comment out for sequentially-numbered
%\numberwithin{figure}{section} %% Comment out for sequentially-numbered

\makeatother


\begin{document}
\centerline{{ \large   Προόδος Άλγεβρας  }}
\centerline{{ 7 Μαϊου   2004 }}

\begin{center}
\rule{2cm}{2pt}
\end{center}



\begin{enumerate}
	\item  
	Να δείξετε ότι αν σε μια ομάδα κάθε στοιχείο έχει τάξη δύο, τότε 
	η ομάδα είναι αβελιανή.
	
	\item  
		Να δείξετε ότι ο πυρήνας ενός ομομορφισμού $\phi:G \rightarrow G'$, 
		είναι κανονική υποομάδα της ομάδας $G$. 
	\item 
	       Nα δείξετε ότι αν η $\phi$ είναι ομομορφισμός ομάδων, τότε η $\phi$ είναι 
	       1-1 αν και μόνο αν ο πυρήνας της $\phi$ 
	       είναι η τετριμένη υποομάδα, δηλαδή $\ker{\phi}=\{1\}$. 
	\item 
Να υπολογιστούν όλες οι δυνατές αβελιανές υποομάδες με τάξη $24$. 
\item 
	Έστω $p$ πρώτος. Να δικαιολογήσετε γιατί οι ομάδες $\mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}_p$
	και $\mathbb{Z}_{p^2}$ δεν είναι ισόμορφες. 
\item 
	Nα αποδείξετε ότι αν $n,m \in \mathbb{N}$ και $(n,m)=1$, τότε 
	οι ομάδες $\mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_m$
	και $\mathbb{Z}_{nm}$  είναι ισόμορφες. 
\item
	Αν $Η$ υποομάδα της $G$, και $g\in G$, να αποδείξετε ότι το σύνολο 
	\[
	gHg^{-1}=\{ghg^{-1} | h \in  H\}, 
	\]
είναι  υποομάδα της $G$. Aν επιπλέον η $H$, έχει τάξη $s$, να δείξετε 
ότι και η ομάδα $g H g^{-1}$ έχει τάξη $s$. Nα δείξετε ότι η τομή όλων 
των υποομάδων της $G$ με τάξη $s$, είναι κανονική υποομάδα της $G$. 
		
\end{enumerate}
\centerline{Διάρκεια διαγωνίσματος 2 ώρες}
\centerline{Καλή Επιτυχία}
\end{document}
