Page Menu
Contact
Office: 201
Email
Phone Number:
210 7276509
Address:
Department of Mathematics
National and Kapodistrian University of Athens
Panepistimioupolis,
GR-157 84, Athens
Greece
Links:
- Mathscinet
- Zentralblatt
- Computer Science Bibliography
- Google Scholar
-
arXiv
- Microsoft Academic Search
- Personal Photos
- My Photos on Flickr
Θεωρία Αριθμών
Η θεωρία των αριθμών είναι ένας κλάδος των μαθηματικών αφιερωμένος στην μελέτη των ακεραίων και ρητών αριθμών. Οι μέθοδοι της θεωρίας αριθμών διακρίνονται για την ποικιλία τους ενώ τα αποτελέσματα για την κομψότητά τους ώστε η θεωρία των αριθμών να αποκαλοίται “η βασίλισα των Μαθηματικών”.
Στόχοι του Μαθήματος
Για χάρη της απόδειξης θεωρημάτων της θεωρίας αριθμών αναπτύχθηκαν ολόκληροι κλάδοι της άλγεβρας της ανάλυσης και της γεωμετρίας. Στο μάθημα αυτό όμως οι αποδείξεις θα χρησιμοποιούν όσο το δυνατόν λιγότερα εργαλεία από άλλους κλάδους των μαθηματικών, ώστε το μάθημα να είναι βατό ακόμα και για φοιτητές του πρώτου έτους.
Ο φοιτητής πέρα από μια πρώτη επαφή με το μάθημα αυτό θα έχει αποκτήσει την μαθηματική ωριμότητα να προχωρήσει σε βαθύτερες και περισσότερο αφηρημένες έννοιες της άλγεβρας, έχοντας αποκτήσει εμπειρία και ευχέρεια ώστε οι ορισμοί των αλγεβρικών δομών να είναι περισσότερο κατανοητοί και φυσιολογικοί.
Επιπλέον θα μπορεί να χειρίζεται μια σειρά από εργαλεία σχετικά με την αριθμητική την διαιρετότητα και την λύση Διοφαντικών προβλημάτων.
Περιεχόμενο του μαθήματος
- Θεμελιώδες θεώρημα της Αριθμητικής.
- Αριθμητικές συναρτήσεις.
- Ισοτιμίες-πολυωνυμικές εξισώσεις modulo p, θεώρημα του Dirichlet (χωρίς 4. απόδειξη).
- Τετραγωνικά υπόλοιπα και ο νόμος αντιστροφής του Gauss.
- Στοιχεία από την Κρυπτογραφία και τη θεωρία Κωδίκων.
Βιβλία:
- Δ. Δεριζιώτης Μια εισαγωγή στην Θεωρία Αριθμών Εκδόσεις Σοφία
- Π. Τσαγκάρης Θεωρία Αριθμών Εκδόσεις Συμμετρία
- Γ. Αντωνιάδης Α. Κοντογεώργης Θεωρία Αριθμών και εφαρμογές Έκδοση υπό προετοιμασία, πρόγραμμα Κάλλιπος
Από τα παραπάνω δύο πρώτα βιβλία οι φοιτητές μπορούν να διαλέξουν ένα το οποίο διανέμεται δωρεάν από τον Εύδοξο
Χωροχρονικές συντεταγμένες: (για τα ψηφία 0,1,2,3,4)
Αμφιθέατρο 24 Τρίτη -Πέμπτη 9:00-11:00
Σύνδεσμοι
E-class Γραφτείτε στο μάθημα ώστε να λαμβάνετε τις ηλεκτρονικές ανακοινώσεις του μαθήματος.
Ασκήσεις
Ημερολόγιο Μαθήματος
7η εβδομάδα
Φίλοι, τέλειοι αριθμοί. Κριτήρια άρτιων τέλειων.
Πρώτοι του Mersenne, πρώτοι του Fermat.
Παραγοντοποίηση Fermat.
6η εβδομάδα
Πέμπτη 26 Μαρτίου 2015
Αντιστροφή Moebius. Η συνάρτηση $\phi(n)$ του Euler είναι πολλαπλασιαστική.
$n=\sum{d \mid n } \phi(d)$ και $\phi(n) = n \sum{d \mid n } \frac{\mu(d)}{d}$.
Υπολογισμός του $\phi(p^a)$, όπου $p$ πρώτος.
Τρίτη 24 Μαρτίου 2015
Εισαγωγή στις αριθμητικές πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις. Οι συναρτήσεις πλήθους και αθροίσματος διαιρετών. Η συνάρτηση του Moebious.
5η εβδομάδα
Πέμπτη 19 Μαρτίου 2015
Πυθαγόριες τριάδες (γεωμετρική προσέγγιση).
Εικασία του Mordell, θεώρημα Faltings
Το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat.
Τρίτη 17 Μαρτίου 2015
Εισαγωγή στις Διοφαντικές εξισώσεις.
Λύση της εξίσωσης $ax+bx=c$. Θετικές λύσεις της παραπάνω εξίσωσης.
4η εβδομάδα
Πέμπτη 12 Μαρτίου 2015
Το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής.
Υπάρχουν άπειροι πρώτοι της μορφής $4l+3$.
Τρίτη 10 Μαρτίου 2015
O Αλγόριθμος του Ευκλείδη. Γραφή του μέγιστου κοινού διαιρέτη $(a,b)$ ως $\mathbb{Z}$-γραμμικό συνδιασμό των $a,b$.
3η εβδομάδα
Πέμπτη 12 Μαρτίου 2015
Μέγιστος κοινός διαιρέτης και ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, ιδιότητες.
Τρίτη 10 Μαρτίου 2015
Το θεώρημα του Dirichlet για αριθμητικές πρόοδους.
Πρόσφατα αποτελέσματα για τα κενά μεταξύ πρώτων, το θεώρημα των Green-Tao.
To θεώρημα των πρώτων αριθμών.
Τύποι πρώτων αριθμών.
2η εβδομάδα
Πέμπτη 7 Μαρτίου 2015
Τρεις αποδείξεις για την απειρία των πρώτων (Ευκλείδη, Stieltjes, Saidak)
Απόδειξη ότι ένας σύνθετος αριθμός $n$ έχει ένα τουλάχιστον πρώτο διαιρέτη $p \leq \sqrt{n}$. Το κόσκινο του Ερατοσθένη.
Επαγωγική απόδειξη της ανισότητας $p_n \leq 2^{2^{n-1}}$ για τον $n$-οστό
πρώτο.
Δίδυμοι πρώτοι, Ξαδέρφια, Sexy πρώτοι.
Τρίτη 3 Μαρτίου 2015
Θεώρημα της διαίρεσης με πηλίκο και υπόλοιπο.
Κριτήρια ώστε να είναι ένας αριθμός τετράγωνο βασισμένα
στα υπόλοιπα της διαίρεσης με 3 και 4. Ορισμός πρώτου.
Απόδειξη ότι κάθε φυσικός $n \geq 2$ έχει ένα τουλάχιστον
πρώτο διαιρέτη.
1η εβδομάδα
Πέμπτη 26 Φεβρουαρίου 2015
Η μέθοδος της επαγωγής. Διαίρεση ακεραίων αριθμών και ιδιότητες.
Aristides Kontogeorgis
Page Menu
Contact
Office: 201Phone Number:
210 7276509
Address: Department of Mathematics
National and Kapodistrian University of Athens
Panepistimioupolis,
GR-157 84, Athens Greece
Links:
- Mathscinet
- Zentralblatt
- Computer Science Bibliography
- Google Scholar
- arXiv
- Microsoft Academic Search
- Personal Photos
- My Photos on Flickr
Θεωρία Αριθμών
Η θεωρία των αριθμών είναι ένας κλάδος των μαθηματικών αφιερωμένος στην μελέτη των ακεραίων και ρητών αριθμών. Οι μέθοδοι της θεωρίας αριθμών διακρίνονται για την ποικιλία τους ενώ τα αποτελέσματα για την κομψότητά τους ώστε η θεωρία των αριθμών να αποκαλοίται “η βασίλισα των Μαθηματικών”.
Στόχοι του Μαθήματος
Για χάρη της απόδειξης θεωρημάτων της θεωρίας αριθμών αναπτύχθηκαν ολόκληροι κλάδοι της άλγεβρας της ανάλυσης και της γεωμετρίας. Στο μάθημα αυτό όμως οι αποδείξεις θα χρησιμοποιούν όσο το δυνατόν λιγότερα εργαλεία από άλλους κλάδους των μαθηματικών, ώστε το μάθημα να είναι βατό ακόμα και για φοιτητές του πρώτου έτους.
Ο φοιτητής πέρα από μια πρώτη επαφή με το μάθημα αυτό θα έχει αποκτήσει την μαθηματική ωριμότητα να προχωρήσει σε βαθύτερες και περισσότερο αφηρημένες έννοιες της άλγεβρας, έχοντας αποκτήσει εμπειρία και ευχέρεια ώστε οι ορισμοί των αλγεβρικών δομών να είναι περισσότερο κατανοητοί και φυσιολογικοί.
Επιπλέον θα μπορεί να χειρίζεται μια σειρά από εργαλεία σχετικά με την αριθμητική την διαιρετότητα και την λύση Διοφαντικών προβλημάτων.
Περιεχόμενο του μαθήματος
- Θεμελιώδες θεώρημα της Αριθμητικής.
- Αριθμητικές συναρτήσεις.
- Ισοτιμίες-πολυωνυμικές εξισώσεις modulo p, θεώρημα του Dirichlet (χωρίς 4. απόδειξη).
- Τετραγωνικά υπόλοιπα και ο νόμος αντιστροφής του Gauss.
- Στοιχεία από την Κρυπτογραφία και τη θεωρία Κωδίκων.
Βιβλία:
- Δ. Δεριζιώτης Μια εισαγωγή στην Θεωρία Αριθμών Εκδόσεις Σοφία
- Π. Τσαγκάρης Θεωρία Αριθμών Εκδόσεις Συμμετρία
- Γ. Αντωνιάδης Α. Κοντογεώργης Θεωρία Αριθμών και εφαρμογές Έκδοση υπό προετοιμασία, πρόγραμμα Κάλλιπος
Από τα παραπάνω δύο πρώτα βιβλία οι φοιτητές μπορούν να διαλέξουν ένα το οποίο διανέμεται δωρεάν από τον Εύδοξο
Χωροχρονικές συντεταγμένες: (για τα ψηφία 0,1,2,3,4)
Αμφιθέατρο 24 Τρίτη -Πέμπτη 9:00-11:00
Σύνδεσμοι
E-class Γραφτείτε στο μάθημα ώστε να λαμβάνετε τις ηλεκτρονικές ανακοινώσεις του μαθήματος.
Ασκήσεις
Ημερολόγιο Μαθήματος
7η εβδομάδα
Φίλοι, τέλειοι αριθμοί. Κριτήρια άρτιων τέλειων. Πρώτοι του Mersenne, πρώτοι του Fermat.
Παραγοντοποίηση Fermat.
6η εβδομάδα
Πέμπτη 26 Μαρτίου 2015
Αντιστροφή Moebius. Η συνάρτηση $\phi(n)$ του Euler είναι πολλαπλασιαστική. $n=\sum{d \mid n } \phi(d)$ και $\phi(n) = n \sum{d \mid n } \frac{\mu(d)}{d}$.
Υπολογισμός του $\phi(p^a)$, όπου $p$ πρώτος.
Τρίτη 24 Μαρτίου 2015
Εισαγωγή στις αριθμητικές πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις. Οι συναρτήσεις πλήθους και αθροίσματος διαιρετών. Η συνάρτηση του Moebious.
5η εβδομάδα
Πέμπτη 19 Μαρτίου 2015
Πυθαγόριες τριάδες (γεωμετρική προσέγγιση).
Εικασία του Mordell, θεώρημα Faltings
Το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat.
Τρίτη 17 Μαρτίου 2015
Εισαγωγή στις Διοφαντικές εξισώσεις. Λύση της εξίσωσης $ax+bx=c$. Θετικές λύσεις της παραπάνω εξίσωσης.
4η εβδομάδα
Πέμπτη 12 Μαρτίου 2015
Το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής. Υπάρχουν άπειροι πρώτοι της μορφής $4l+3$.
Τρίτη 10 Μαρτίου 2015
O Αλγόριθμος του Ευκλείδη. Γραφή του μέγιστου κοινού διαιρέτη $(a,b)$ ως $\mathbb{Z}$-γραμμικό συνδιασμό των $a,b$.
3η εβδομάδα
Πέμπτη 12 Μαρτίου 2015
Μέγιστος κοινός διαιρέτης και ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, ιδιότητες.
Τρίτη 10 Μαρτίου 2015
Το θεώρημα του Dirichlet για αριθμητικές πρόοδους.
Πρόσφατα αποτελέσματα για τα κενά μεταξύ πρώτων, το θεώρημα των Green-Tao.
To θεώρημα των πρώτων αριθμών.
Τύποι πρώτων αριθμών.
2η εβδομάδα
Πέμπτη 7 Μαρτίου 2015
Τρεις αποδείξεις για την απειρία των πρώτων (Ευκλείδη, Stieltjes, Saidak)
Απόδειξη ότι ένας σύνθετος αριθμός $n$ έχει ένα τουλάχιστον πρώτο διαιρέτη $p \leq \sqrt{n}$. Το κόσκινο του Ερατοσθένη.
Επαγωγική απόδειξη της ανισότητας $p_n \leq 2^{2^{n-1}}$ για τον $n$-οστό πρώτο.
Δίδυμοι πρώτοι, Ξαδέρφια, Sexy πρώτοι.
Τρίτη 3 Μαρτίου 2015
Θεώρημα της διαίρεσης με πηλίκο και υπόλοιπο. Κριτήρια ώστε να είναι ένας αριθμός τετράγωνο βασισμένα στα υπόλοιπα της διαίρεσης με 3 και 4. Ορισμός πρώτου. Απόδειξη ότι κάθε φυσικός $n \geq 2$ έχει ένα τουλάχιστον πρώτο διαιρέτη.
1η εβδομάδα
Πέμπτη 26 Φεβρουαρίου 2015
Η μέθοδος της επαγωγής. Διαίρεση ακεραίων αριθμών και ιδιότητες.