\documentclass[11pt]{article}
\makeatletter
\usepackage[ american,greek]{babel}
%\usepackage{textcase}
\usepackage{amsmath,amsfonts}
\usepackage[iso-8859-7]{inputenc}
\usepackage{graphicx}
%\usepackage{kerkis}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\sg}{\selectlanguage{greek}}
\newcommand{\sa}{\selectlanguage{american}}
\newcommand{\LyX}{L\kern-.1667em\lower.25em\hbox{Y}\kern-.125emX\spacefactor1000}
%\theoremstyle{plain}
\newtheorem{thm}{Theorem}[section]
%\newtheorem{or}{Ορισμός}
\numberwithin{equation}{section} %% Comment out for sequentially-numbered
\numberwithin{figure}{section} %% Comment out for sequentially-numbered
\newcommand{\bv}{\sa \begin{verbatim}}
\newcommand{\ev}{\end{verbatim} \sg}

\makeatother

\begin{document}                    
%\title{Σύντομος Οδηγός Χρήσης του \textlatin{gp-pari}}
%\author{A.K}
%\maketitle
\selectlanguage{greek}
\section*{Βάθος Χρώματος}
Ξεκινάμε με ένα προβολέα ο οποίος εκπέμπει φως συγκεκριμένης απόχρωσης, 
έστω κόκκινο και υποθέτουμε ότι με την βοήθεια μίας μεταβλητής αντίστασης 
μπορούμε να ρυθμίσουμε τον προβολέα σε όλες τις ενδιάμεσες φωτεινότητες 
από το 0 που αντιστοιχεί στον σβηστό προβολέα και στο 1 που αντιστοιχεί στην 
μέγιστη φωτεινότητα που μπορεί να μας δώσει. Όλες οι τιμές στο διάστημα 
$[0,1]$ αντιστοιχούν σε ενδιάμεσες φωτεινότητες.
Το πρόβλημα που αντιμετοπίζουμε είναι ότι οι άπειρες ενδιάμεσες 
φωτεινότητες δεν είναι είναι δυνατόν να περιγραφούν στον υπολογιστή. 

Αυτό το οποίο κάνουμε είναι να διακριτοποιήσουμε το πρόβλημα 
χωρίζοντας το διάστημα $[0,1]$ σε $\lambda$ το πλήθος διαστήματα. 
Στο παρακάτω σχήμα έχουμε διακριτοποιήσει την ταυτοτική 
συνάρτηση $f(x)= x$ στο διάστημα $[0,1]$ πέρνοντας $\lambda=10$. 
\begin{center}
\includegraphics[scale=.7]{diakrit.eps}
\end{center}
Όσο ποιό μεγάλο είναι το $\lambda$, τόσο ποιό καλή προσέγκιση 
της παραπάνω συνάρτησης έχουμε. 
Όπως θα  δούμε παρακάτω στο μοντέλο \textlatin{RGB}
έχουμε παραγωγή όλων των χρωμάτων από $3$ βασικά χρώματα, 
οπότε θέτοντας $\lambda=2^8$  για κάθε βασικό χρώμα 
μπορούμε να αναπαραστήσουμε  συνολικά $(2^8)^3=2^{24}=16.777.216$ χρώματα.
Τον  αριθμό $3\lambda$ θα τον ονομάζουμε βάθος χρώματος και θα τον 
μετράμε σε \textlatin{bits}. 
\footnote{Το \textlatin{bit} είναι μονάδα μέτρησης πληροφορίας, μία 
ερώτηση η οποία μπορεί να απαντηθεί με ένα ναί ή όχι θα λέμε ότι 
έχει πληροφορία 1-\textlatin{bit} }
 Έτσι όταν μιλάμε για βάθος 
χρώματος $24$-\textlatin{bit}, θα εννοούμε ότι 
$\lambda=2^8=256$.

\section*{Ο χώρος χρωμάτων  \textlatin{RGB}.}
O χώρος χρωμάτων \textlatin{RGB} είναι αρκετά σημαντικός 
γιατί παραμετροποιεί τα χρώματα που δείχνει μία έγρωμη 
οθόνη. Η τεχνολογία του σωλήνα καθοδικών ακτίνων, 
την οποία χρησιμοποιούν  οι οθόνες του υπολογιστή, 
βασίζετε στην μίξη τριών βασικών χρωμάτων. Με 
αυτόν τον τρόπο η περιγραφή ενός χρώματος μπορεί να  
δωθεί μέσω τριών συντεταγμένων, $(R,G,B)$ οι 
οποίες δίνουν την ((ποσότητα)) των χρωμάτων αυτών.

Το μαθηματικό μοντέλο μιας τέτοιας παράστασης
δίνεται μαθηματικά μέσω του \textlatin{RGB} χρωματικού κύβου
\begin{center}
\includegraphics[scale=.3]{rgbcube.ps}
\end{center}
Αν έχουμε $24$-\textlatin{bit} χρώμα, τότε κάθε άξωνας του κύβου 
δίνει τιμές στα χρώματα κόκκινο, πράσινο, μπλέ από $[0,255]$
\footnote{
Αργότερα όταν θα αναφερθούμε στην βιβλιοθήκη 
\textlatin{OpenGL} θα δούμε ένα μοντέλο του \textlatin{RGB} 
ατο οποίο οι χρωματικές τιμές θα είναι στο $[0,1]$, και 
το οποίο έχει το πλεονέκτημα να είναι ανεξάρτητο από το 
βάθος χρώματος της οθόνης μας. 
}. 
Η τιμή $0$ σε ένα άξoνα σημαίνει ότι το χρώμα αυτό εμφανίζεται στην ελάχιστη 
φωτεινότητα του, ενώ η τιμή $255$ σημαίνει ότι 
εμφανίζεται στην μέγιστη φωτεινότητα του. 


Έτσι η τριάδα $(0,0,0)$ δίνει μαύρο (οι φωτεινότητες όλων 
των χρωμάτων είναι μηδενικές) 
ενώ η τριάδα $(255,255,255)$ αντιστιχεί στο λευκό. 
Τα χρώματα προστίθεντε σαν διανύσματα του $\mathbb{R}^3$. 
Έτσι όπως μας δίνει ο χρωματικός κύβος το πράσινο συν 
κόκκινο δίνει κίτρινο.\footnote{ Αν αυτό φένεται περίεργο 
σε αυτούς που έχουν ασχοληθεί με την ζωγραφική ας κάνουν 
λίγο υπομονή μέχρι να μιλήσουμε για το \textlatin{CMY} 
μοντέλο}. 

Η διαγώνιος του κύβου που συνδέει τα σημεία 
$(0,0,0)$ και $(255,255,255)$ περιέχει όλα τα χρώματα σε ίσες 
φωτεινότητες
και αντιστιχεί στις διαβαθμίσεις του γκρίζου. 

\section*{Ο \textlatin{HSV} χρωματικός χώρος}

Η αντίληψη του χρώματος που έχουμε στην καθημερινή μας
ζωή δεν εξυπηρετήται καλά από τον χρωματικό χώρο 
\textlatin{RGB}.  

Έτσι στην καθημερινή ζωή αναφερώμαστε στην απόχρωση (\textlatin{hue}) που περιγράφει 
το χρώμα και που το χρώμα βρίσκεται στο χρωματικό φάσμα.
Έτσι λέξεις όπως κόκκινο, κίτρινο, μώβ είναι επίθετα που περιγράφουν 
την απόχρωση. 
O παρακάτω κύκλος δίνει τις τιμές της απόχρωσης οι οποίες βρίσκονται 
πάνω σε ένα κύκλο. 
\begin{center}
\includegraphics[scale=.4]{hue-circle.ps}
\end{center}
Το επόμενο βασικό χαρακτηριστικό ενός χρώματος 
είναι ο κορεσμός  (\textlatin{saturation}) $S$. 
O κορεσμός περιγράφει πόσο καθαρό είναι το χρώμα σε σχέση με 
το λευκό. Έτσι έχουμε το καθαρό κόκκινο (πλήρως 
κορεσμένο) στο οποίο μπορούμε 
να βάζουμε λευκό ((ανοίγοντας)) το. O κορεσμός μετριέται σε 
ποσοστά επί τοις εκατό και πέρνει τιμές απο 0  (λευκό) μέχρι 100
(πλήρως κορεσμένο). 

Τέλος ένα χρώμα έχει φωτεινότητα. Αυτή είναι μιά σχετική τιμή με το 
πόσο φωτεινό είναι ένα χρώμα. Αν το χρώμα αντανακλά πολύ φώς τότε είναι 
φωτεινό. Η φωτεινότητα όπως και ο κορεσμός είναι τιμή η οποία μετριέται σε
ποσοστό επί τοις εκατό. 
\section*{Συσχέτιση του \textlatin{HSV} με τον \textlatin{RGB}. }

Σε αυτή την παράγραφο θα μελετήσουμε την σχέση των χρωματικών χώρων 
\textlatin{HSV} και \textlatin{RGB}. 
Θα ξεκινήσουμε ορίζοντας καλύτερα την φωτεινότητα. Ο όρος δίνει 
διαισθητικά το πόσο φώς αντανακλά το χρώμα. 

Αν έχουμε για παράδειγμα μία κόκκινη λάμπα η οποία είναι συνδεμένη 
με μια μεταβλητή αντίσταση ρύθμισης της φωτεινότητας, 
τότε μπορούμε να αλάζουμε την 
φωτεινότητα της, αλλά το χρώμα της παραμένει σταθερό. 

Μία οθόνη μπορεί να μοντελοποιηθεί σαν ένα σύνολο από 
πολλές μικρές λάμπες, και η φωτεινότητα μίας περιοχής 
της οθόνης είναι απλά το άθροισμα των φωτεινοτήτων όλων των 
σημείων της περιοχής. 

Ποιά είναι τα χρώματα στον \textlatin{RGB} κύβο που 
έχουν την ίδια φωτεινότητα? Είναι ο γεωμετρικός 
τόπος που το άθροισμα των τριών βασικών χρωμάτων είναι σταθερό. 
\[
\frac{R + B + G}{3}= V,  \;\;\; 0\leq V \leq 100. 
\]
Έτσι τα παρακάτω σχήματα δίνουν τον χώρο ίδιας σταθερής 
φωτεινότητας για $\{25,25,75\}$:
\begin{center}
	\includegraphics[scale=.3]{equal-bri.ps}
\end{center}
 O γεωμετρικός τόπος των χρωμάτων ίδιας φωτεινότητας είναι ένα 
κυρτό πολύγωνο κάθετο στην διαγώνιο του κύβου που συνδέει το 
μάυρο $(0,0,0)$ με το άσπρο $(255,255,255)$. 

Έκτος από την φωτεινότητα (\textlatin{brightness}) η οποία ορίζεται 
σαν $(R + G + B)/3$ μπορούμε να ορίσουμε και άλλες έννοιες συσχετισμένες 
με αυτήν όπως
\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
	\textlatin{lightness}, &
	$L=\frac{\mathrm{max}(R,G,B) + \mathrm{min}(R,G,B)}{2}$ \\
	\textlatin{value},&  $V=\mathrm{max}(R,G,B)$\\
	\textlatin{luminance}, & $Y=0.3R+0.59 G +0.11B$
	\end{tabular}
\end{center}
H \textlatin{luminance} είναι η αντίληψη της φωτεινότητας του ανθρώπινου 
ματιού, η οποία δεν είναι σταθερή για κάθε χρώμα, δηλαδή πολλαπλασιάζουμε 
με σταθερές οι οποίες προκείπτουν πειραματικά, γιατί το ανθρώπινο μάτι δεν 
είναι το ίδιο ευαίσθητο σε όλα τα χρώματα. 

Η παρακάτω εικόνα δίνει πως το χρώμα  $(220,60,120)$  προβάλεται στον ουδέτερο 
άξονα
\begin{center}
	\includegraphics[scale=.3]{projections.ps}
\end{center}

Tώρα θα ορίσουμε τον κορεσμό. Ο ορισμός του κορεσμού σχετίζεται με τον ορισμό 
της φωτεινότητας. Ο κορεσμός μετρά  το πόσο ((έχγρωμο)) είναι ένα χρώμα. 
Ο ουδέτερος άξωνας είναι η διαγώνιος που συνδέει το άσπρο με το μάυρο, 
και πάνω σε αυτόν βρίσκονται όλες οι αποχρώσεις του γκρί. Ο άξωνας αυτός 
είναι άχρωμος. Τα σημεία που είναι κοντά στον άξωνα είναι λιγότερο 
έγχρωμα από αυτά που είναι μακριά. Ο κορεσμός ενός χρώματος ορίζεται 
να είναι η απόσταση του σημείου από τον ουδέτερο άξωνα, δια την 
φωτεινότητα του σημείου. 

Από τα παραπάνω γίνεται σαφές ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων σταθερού
κορεσμού είναι κώνοι με κορυφή το μαύρο $(0,0,0)$, όπως φένεται στο 
παρακάτω σχήμα:
\begin{center}
	\includegraphics[scale=.3]{saturation.ps}
\end{center}

Τέλος, ο ορισμός της απόχρωσης είναι σχετικός με αυτό που διαισθητικά θα 
περιμέναμε. Η απόχρωση  ενός χρώματος είναι η γωνιακή θέση γύρω 
από τον ουδέτερο άξωνα. 
Έτσι το τρίγωνο που ορίζεται από τον ουδέτερο άξωνα και από κάθε 
σημείο του χρωματικού κύβου είναι ο γεωμετρικός τόπος των 
σημείων ίδιας απόχρωσης.
Η παρακάτω εικόνα παριστά διαφορετικά ισοχρωματικά τρίγωνα για 
διαφορετικές γωνίες. Η κόκκινη γωνία του κύβου ορίζεται να 
είναι η απόχρωση στο $0$. Παρατηρήστε ότι στα τρίγωνα  ένω 
η απόχρωση είναι η ίδια, η φωτεινότητα και ο κορεσμός αλλάζει. 
\begin{center}
	\includegraphics[scale=.3]{conhue.ps}
\end{center}
Στο επόμενο σχήμα συνοψίζεται η σχέση μεταξύ των \textlatin{RGB} και 
\textlatin{HSV} συντεταγμένων του χρώματος. 
\begin{center}
	\includegraphics[scale=.3]{coord.ps}
\end{center}

Μερικές παρατηρήσεις που μπορούν να γίνουν σχετικά με το χρώμα είναι οι εξής:
Το κυανό,\textlatin{magenta} και το κίτρινο σαν κορυφές του χρωματικού κύβου
αναπαριστούν φωτεινότερα χρώματα από τα κόκκινο,πράσινο και μπλέ, αφού τα 
τελευτέα προβάλονται χαμηλότερα στον ουδέτερο άξωνα. 
Ομοίως όλα τα χρώματα στην πυραμίδα που ορίζονται από της $C,Y,M$ και $W$ 
κορυφές είναι φωτεινότερα από τα χρώματα στην πυραμίδα που ορίζεται από τις
$R,G,B$ κορυφές.  Τα χρώματα κοντά στον ουδέτερο άξωνα είναι ((ξεπλυμένα))
σε αντίθεση με τα απομακρισμένα χρώματα που είναι ποίο έγχρωμα. 

\section*{Τα αφαιρετικά συστήματα \textlatin{CMY} και \textlatin{CMYK}.}

Μία έγρωμη οθόνη ακτινοβολεί χρώμα και συνεπώς το χρωματικό της μοντέλο 
βασίζεται στο \textlatin{RGB} σύστημα. Το μελάνι στο χαρτί αντιθέτως 
αποροφά το χρώμα και αντανακλά το χρώμα που δεν αποροφά. 

Έτσι αν στείλουμε λευκό  χρώμα  σε ένα κυανό χαρτί, το χρώμα που 
αντιλαμβανόμαστε είναι κυανό, γιατί το κόκκινο αποροφήθηκε στο 
χαρτί. Ομοίως η \textlatin{magenta} αποροφά το πράσινο και το 
κίτρινο αποροφά το μπλέ. 
Τα χρώματα κυανό, \textlatin{magenta} και κίτρινο σχηματίζουν 
ένα χρωματικό μοντέλο που είναι το \textlatin{CMY}. 

Ένα σημείο με συντεταγμένες $(R,G,B)$ στον \textlatin{RGB} χώρο 
έχει $(255-R,255-G,255-B)$ συντεταγμένες στον \textlatin{CMY}. 

Ο χώρος \textlatin{CMY} ταιριάζει περισσότερο στην περιγραφή 
των εικώνων που πρόκειται να τυπωθούν. 
Προσθήκη όλων των χρωμάτων δίνει μάυρο (δεν αφήνει τίποτα 
να ανακλαστεί) ενώ το άσπρο είναι απουσία χρώματος, 
αρκεί να τυπώνουμε - ζωγραφίζουμε σε άσπρο χαρτί!

Στην πράξη, εξαιτίας ατελιών στα χρώματα η προσθήκη 
όλων των χρωμάτων δεν δίνει μαύρο. Για αυτό τον 
σκοπό υπάρχει ένα μοντέλο που αφαιρεί λίγο 
από τα χρώματα κυανό, \textlatin{magenta} και κίτρινο και 
το αντικαθιστά με μαύρο. To μοντέλο αυτό 
ονομάζεται \textlatin{CMYK}, αυτό το μοντέλο 
βελτιώνει κατά πολύ την απόδωση των εκτυπωμένων εικόνων. 


Το ποσό του χρώματος που θα πρεπεί να αφαιρεθεί και να αντικατασταθεί 
με μαύρο είναι μία πολύπλοκη διαδικασία που δεν θα μας απασχολήσει 
εδώ. Για να δώσουμε μια ιδέα για την πολυπλοκότητα του προβήματος 
μπορούμε να πούμε ότι πρέπει να ληφθούν υπόψην παράμετροι όπως το 
πόσο γρήγορα στεγνώνει ένα χρώμα καθώς και η χημική σύσταση και οι 
ανακλαστικές ιδιότητες του 
χαρτιού. 








\end{document}
