This page in english

Τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ

Σεμινάριο Τομέα Άλγεβρας-Γεωμετρίας

Επόμενες Διαλέξεις


Τρίτη 28 Μαίου 2013, αίθουσα Α11, 16:00-17:00

Ολυμπία Ταλέλλη (ΕΚΠΑ)


Ακαδημαικό έτος 2012-2013


02/10/2012
16:00, Α11
Μαρία Φραγγουλοπούλου (ΕΚΠΑ)
Τοπολογικές *-άλγεβρες και ο ρόλος τους στη Μαθηματική Φυσική
16/10/2012
16:00, Α11
Ιωάννης Εμμανουήλ (ΕΚΠΑ)
Ομάδες με τοπολογική διάσταση 1
30/10/2012
16:00, Α11
Αριστείδης Κοντογιώργης (ΕΚΠΑ)
Διοφαντικές εξισώσεις-Θεωρία κλάσεων σωμάτων-Κρυπτογραφία
13/11/2012
16:00, Α11
Μιχάλης Μαλιάκας (ΕΚΠΑ)
Επί της διάστασης Weyl των Schur αλγεβρών
27/11/2012
16:00 Α11
Μαρία Παπατριανταφύλλου (ΕΚΠΑ) Διαφορική Γεωμετρία σε τυχαίους τοπολογικούς χώρους: Διαφορικός Λογισμός και Ομάδες Lie
11/12/2012
16:00 Α11
Μαρίνα Χαραλαμπίδου (ΕΚΠΑ) Παρουσία μηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών
08/01/2013
16:00 Α11
Μυρτώ Καλλιπολίτη (Vienna) Cambrian ημισύνδεσμοι: Συνδυαστική και Τοπολογία
12/02/2013
16:00 Α11
Χριστίνα Σαββίδου (ΕΚΠΑ) Βαρυκεντρικές υποδιαιρέσεις, τοπικά h διανύσματα και μεταθέσεις χωρίς σταθερά σημεία
15/02/2013
16:00 Α11
Marco Zambon (Madrid) Singular Subalgebroids
18/02/2013
16:00 Α11
Chenchang Zhu (Goettingen) Courant algebroid and representation up to homotopy
19/02/2013
16:00 Α11
Ελένη Τζανάκη (Ηράκλειο ΤΕΜ) Μέγιστος αριθμός πλευρών του αθροίσματος Minkowski r κυρτών πολυτόπων
12/03/2013
16:00 Α11
Ιάκωβος Ανδρουλιδάκης (ΕΚΠΑ) Ο τελεστής Laplace κατά μήκος μιας φυλλώδους δομής με ιδιομορφίες και το φάσμα του
19/03/2013
16:00 Α11
Παναγιώτης Χρήστου (ΕΚΠΑ) Deformation Quantization of Symplectic Manifolds
26/03/2013
16:00 Α11
Γιάννης Ζαρακάς (ΕΚΠΑ) Παραγωγίσεις σε άλγεβρες μη-φραγμένων τελεστών
02/04/2013
13:00 Α11
Βασίλης Μεταφτσής (Πανεπιστήμιο Αιγαίου)
Μερικά αποτελέσματα στο πρόβλημα της τάξης
02/04/2013
16:00 Α11
Χαράλαμπος Γερανιός (EPFL Lausanne) Polynomially and infinitesimally injective modules
09/04/2013
16:00 Α11
Alexander Helemskii (Moscow) Metric freedom and projectivity for classical and quantum normed modules
16/04/2013
16:00 Α11
Γιώργος Πετρουλάκης (City University, U.K.) Το Πολυγραμμικό υποπρόβλημα του Οριζουσαϊκού Προβλήματος Ανάθεσης
28/05/2013
16:00 Α11
Ολυμπία Ταλέλλη (ΕΚΠΑ) Θα ανακοινωθεί




















Περιλήψεις προηγούμενων διαλέξεων


Τρίτη 16 Απριλίου 2013, αίθουσα Α11, 16:00-17:00

Πετρουλάκης Γιώργος (City University, U.K.) "Το Πολυγραμμικό υποπρόβλημα του Οριζουσαϊκού Προβλήματος Ανάθεσης"

Το Οριζουσϊακό Πρόβλημα Ανάθεσης (DAP) είναι ένα διαδεδομένο, ανοιχτό πρόβλημα στο πλαίσιο της Θεωρίας Ελέγχου.  Η αναγωγή του σε ένα γραμμικό σύστημα εξισώσεων και ένα Πολυγραμμικό υποπρόβλημα, καθιστά αναγκαία την αντιμετώπισή του μέσω πολυδιανυσμάτων (k-vectors) και tensor decompositions. Στην περίπτωση 2-vectors το πρόβλημα αντιμετωπίζεται (εν μέρει) από το θεώρημα των  Eckart-Young. Θα αναφερθούμε στην πλήρη λύση του πολυγραμμικού υποπροβλήματος του DAP για την περίπτωση 2-vectors,  παρουσιάζοντας  εναλλακτικές μεθόδους υπολογισμού και  θα εστιάσουμε στα προβλήματα που παρουσιάζει η γενίκευση για μεγαλύτερης διάστασης πολυδιανύσματα, που μέχρι στιγμής αντιμετωπίζεται  αριθμητικά μέσω της λεγόμενης Multi-Linear SVD.

Τρίτη 09 Απριλίου 2013, αίθουσα Α11, 16:00-17:00

Alexander Helemskii (Moscow) "Metric freedom and projectivity for classical and quantum normed modules"

There are several different ways to carry over the notion of a projective module (one of the most important in algebra), to functional analysis, "classical" as well as "quantum". We distinguish four such approaches that seem to be the most essential and show that a certain general-categorical framework contains, as particular cases, all these versions. In this scheme the notion of a free object comes to the forefront. We characterize, in terms of functional analysis, the relevant free modules and then apply freedom to projectivity.

The basic notion in the mentioned general-categorical scheme is the so-called rigged category, defined in the spirit of the relative abelian category of MacLane. This framework is suffcient to treat the so-called relative (or traditional), topological and metric versions, of projectivity. On the other hand, the notion of the extreme projectivity, already started by Grothendieck (1955) and later studied in the "quantum" setting by Blecher (1992), requires a kind of elaboration in our scheme. This is achieved by supplying a given rig by an additional, the so-called asymptotic structure. As a result, the extreme projectivity turns out to be a particular case of the general-categorical asymptotic projectivity.

Τρίτη 02 Απριλίου 2013, αίθουσα Α11, 13:00-14:00

Βασίλης Μεταφτσής (Πανεπιστήμιο Αιγαίου) "Μερικά αποτελέσματα στο πρόβλημα της τάξης"

Τρίτη 02 Απριλίου 2013, αίθουσα Α11, 16:00-17:00

Χαράλαμπος Γερανιός
(EPFL Lausanne) "Polynomially and infinitesimally injective modules"
Let k be an algebraically closed field of characteristic p. Let G=GL(n,k) the group of invertible n x n matrices over k. We will describe which polynomial injective modules are injective on restriction to the first infinitesimal subgroup G1. We give a solution in terms of the "index of divisibility" of a polynomially injective module. Moreover we will see that this leads us naturally to an investigation of the set of composition factors of the tensor product of several copies of the symmetric algebra S(E) of the natural G-module E. This talk is based on joint papers with Stephen Donkin.

Τρίτη 26 Μαρτίου 2013, αίθουσα Α11, 16:00-17:00

Γιάννης Ζαρακάς (ΕΚΠΑ) "Παραγωγίσεις σε άλγεβρες μη-φραγμένων τελεστών"

Λίγο μετά τη θεμελίωση της θεωρίας των C*-αλγεβρών από τους Gelfand και Naimark  το 1943, η θεωρία των παραγωγίσεων αλγεβρών ήρθε στο φως και άρχισε να αναπτύσσεται. Η συνεχής έρευνα στο πεδίο αυτό ανέδειξε τις παραγωγίσεις ως ένα από τους κεντρικούς κλάδους της θεωρίας των *-αλγεβρών Banach, με πολλά και σημαντικά αποτελέσματα.

Oι pro-C*-άλγεβρες (αντίστροφα όρια από C*-άλγεβρες) και οι GB*-άλγεβρες αποτελούν γενικεύσεις των C*-αλγεβρών και σε αντίθεση με αυτές, αντιστοιχούν σε άλγεβρες μη-φραγμένων τελεστών, άρα έχουν άμεση σχέση με τη φυσική. Αλλά, και η έννοια της παραγώγισης είναι σημαντική για τη φυσική, αφού γενικεύει τη συνήθη παράγωγο.

Έτσι στην ομιλία αυτή θα συζητήσουμε κάποια αποτέλεσματα, που γενικεύουν στο “μη-φραγμένο” πλαίσιο πολύ γνωστά αποτελέσματα του “φραγμένου” πλαισίου, που αφορούν στη δομή των παραγωγίσεων. Μεταξύ άλλων θα δούμε ότι κάθε παραγώγιση μιάς pro-C*-άλγεβρας Α σε ένα “λείο” πλήρες τοπικά κυρτό A-πρότυπο είναι πάντα συνεχής, ή ότι η μόνη παραγώγιση μιας μεταθετικής Fréchet GB*-άλγεβρας είναι η μηδενική. Θα δούμε όμως και ένα παράδειγμα μιας μεταθετικής κλειστής *-υπάλγεβρας της τοπικά κυρτής *-άλγεβρας  L(D) (των γραμμικών τελεστών σε ένα πυκνό υπόχωρο D ενός χώρου Hilbert H, εφοδιασμένης με μία όχι GB*-τοπολογία), η οποία διαθέτει μία μη-μηδενική παραγώγιση.


Τρίτη 19 Μαρτίου 2013, αίθουσα Α11, 16:00-17:00

Παναγιώτης Χρήστου (ΕΚΠΑ) "Deformation Quantization of symplectic manifolds"

Ο όρος quantization είναι αρκετά γενικός και περιγράφει τη διαδικασία κατασκευής ενός κβαντικού συστήματος από ένα κλασσικό. Ένας τρόπος να επιτευχθεί αυτό είναι το λεγόμενο deformation quantization. Ξεκινώντας από μια πολλαπλότητα Poisson, προσπαθούμε να επεκτείνουμε τον πολλαπλασιασμό συναρτήσεων σε μια νέα πράξη  ανάμεσα σε formal δυναμοσειρές μιας παραμέτρου h (σταθερά του Planck) με συντελεστές συναρτήσεις. Στην παρούσα διάλεξη θα προσπαθήσουμε να παρουσιάσουμε ένα τρόπο κατασκευής αυτού του πολλαπλασιασμού που οφείλεται στον Fedosov και αφορά την περίπτωση συμπλεκτικών πολλαπλοτήτων.


Τρίτη 12 Μαρτίου 2013

Ιάκωβος Ανδρουλιδάκης (ΕΚΠΑ) "Ο τελεστής Laplace κατά μήκος μιας φυλλώδους δομής με ιδιομορφίες και το φάσμα του"

Οι Connes και Kordyukov (ανεξάρτητα) έδειξαν ότι ο τελεστής Laplace κατά μήκος των φύλλων μιας κανονικής φυλλώδους δομής (regular foliation) έχει το ίδιο φάσμα σε κάθε αναπαράσταση, ειδικά έχει το ίδιο φάσμα με τον τελεστή Laplace κάθε φύλλου. Επιπλέον, ο Connes έδειξε πως σε αρκετές περιπτώσεις το φάσμα αυτό υπολογίζεται χρησιμοποιώντας (αλγεβρική) Κ-θεωρία. Στη διάλεξη αυτή θα συζητήσουμε τη γενίκευση των αποτελεσμάτων αυτών σε οποιαδήποτε φυλλώδη δομή με ιδιομορφίες, και θα αναφέρουμε επιγραμματικά τη σχέση τους με την εικασία Baum-Connes. Πρόκειται για δουλειά σε συνεργασία με τον Γιώργο Σκανδάλη (Paris 7) και τον Marco Zambon (Madrid Autonoma - ICMAT).

Τρίτη 19 Φεβρουαρίου 2013

Ελένη Τζανάκη (Ηράκλειο ΤΕΜ) "Μέγιστος αριθμός πλευρών του αθροίσματος Minkowski r κυρτών πολυτόπων"

Θεωρούμε r  d-διάστατα  κυρτά πολύτοπα P_1,…,P_r.  Βρίσκουμε άνω  φράγμα του αριθμού των k-διάστατων πλευρών του αθροίσματος Minkowski P_1+…+P_r των P_1,…,P_r  συναρτήσει της διάστασης d και του αριθμού των κορυφών τους. Στην περίπτωση όπου r=2  ή 3  τα  παραπάνω φράγματα επιτυγχάνονται επιλέγοντας κατάλληλα   τις κορυφές των  πολυτόπων στην d-διάστατη καμπύλη ροπής και τοποθετόντας τα σε κατάλληλη γενική θέση.

Παρασκευή 15 Φεβρουαρίου 2013

Marco Zambon (Madrid) "Singular subalgebroids"

Lie algebroids - generalizations of Lie algebras - appear in many contexts in differential geometry. By means on an infinite dimensional construction due to Crainic-Fernandes, they give rise to global geometric objects which integrate them: Lie groupoids. On the other hand, singular foliations also have an associated global object, which is a topological groupoid, by the work of Androulidakis-Skandalis. The two integration procedures are quite different in nature. We introduce and motivate a notion that generalizes both Lie subalgebroid and singular foliations, providing examples and addressing  their integration theory. If time permits, we will use the above ideas to introduce and motivate singular Dirac structures.

Τρίτη 12 Φεβρουαρίου 2013

Χριστίνα Σαββίδου (ΕΚΠΑ) "Βαρυκεντρικές υποδιαιρέσεις, τοπικά h διανύσματα και μεταθέσεις χωρίς σταθερά σημεία"

Το τοπικό h-πολυώνυμο είναι μια σημαντική απαριθμητική αναλλοίωτη μιας υποδιαίρεσης του μονοπλόκου simplex, η οποία ορίστηκε από τον Stanley το 1992. Στη διάλεξη αυτή θα αναφερθούμε πρώτα στις βασικές ιδιότητες του πολυωνύμου αυτού. Στη συνέχεια θα το μελετήσουμε για συγκεκριμένες υποδιαιρέσεις με συνδυαστικό ενδιαφέρον (όπως η βαρυκεντρική) και θα περιγράψουμε εφαρμογές στην απαρίθμηση μεταθέσεων χωρίς σταθερά σημεία της συμμετρικής και υπεροκταεδρικής ομάδας. Η διάλεξη βασίζεται σε κοινές εργασίες με τον Χρήστο Αθανασιάδη.

Τρίτη 08 Ιανουαρίου 2013

Μυρτώ Καλλιπολίτη
(Vienna) "Cambrian ημισύνδεσμοι: Συνδυαστική και Τοπολογία"

Για τυχαία ομάδα Coxeter W (όχι απαραίτητα πεπερασμένη) και τυχαίο στοιχείο Coxeter γ της W, οι Reading και Speyer (2011) όρισαν τον Cambrian ημισύνδεσμο Cγ ως έναν ημισύνδεσμο πηλίκο της ασθενούς διάταξης στην W. Στην ομιλία αυτή θα εξηγήσουμε αναλυτικά την κατασκευή των Cambrian ημισυνδέσμων και θα συζητήσουμε τη σχέση τους με άλλα γνωστά συνδυαστικά αντικείμενα. Στη συνέχεια θα επικεντρωθούμε στην τοπολογία τους. Συγκεκριμένα, με τη χρήση εργαλείων της Συνδυαστικής (όπως EL-επιγραφή και συνάρτηση Möbius), θα δείξουμε ότι για κάθε ομάδα Coxeter W και κάθε στοιχείο Coxeter γ της W το διατακτικό σύμπλεγμα κάθε πεπερασμένου ανοικτού διαστήματος του Cγ είναι είτε συσταλτό είτε σφαιρικό. Τέλος, θα δώσουμε έναν χαρακτηρισμό για τον τύπο ομοτοπίας των συμπλεγμάτων αυτών. Τα παραπάνω συμπεράσματα γενικεύουν αποτελέσματα του Reading (2005), τα οποία αφορούν την ειδική περίπτωση όπου η ομάδα W είναι πεπερασμένη. Η ομιλία βασίζεται σε κοινή εργασία με τον Henri Mühle.

 
Τρίτη 11 Δεκεμβρίου 2012

Μαρίνα Χαραλαμπίδου (ΕΚΠΑ) "Παρουσία μηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών"

Η θεωρία δομής Wedderburn ξεκίνησε στις αρχές του 1900 όταν ο Joseph Henry Maclagan Wedderburn παρουσίασε κομψές δυνατές αναλύσεις μοναδιαίων (προσ- εταιριστικών) αλγεβρών μέσω απλούστερων υποδομών ή ακόμη μέσω αλγεβρών πινάκων.

Οι μηδενιστικές απεικονίσεις παίζουν σπουδαίο ρόλο σε Wedderburn αναλύσεις μη- νορμαρισμένων τοπολογικών αλγεβρών. Οι ίδιες απεικονίσεις ορίζουν έννοιες όπως η μηδενιστική και η δυϊκή τοπολογική άλγεβρα. Μία δυϊκή άλγεβρα είναι μηδενιστική το αντίστροφο δεν ισχύει εν γένει.

θα παρουσιάσουμε θεωρήματα δομής τύπου Wedderburn για άλγεβρες με Η-(τοπολογική) δομή. Επίσης, θα αναφερθούμε σε σχέσεις μεταξύ των μηδενιστικών, δυϊκών και τοπολογικών αλγεβρών με Η-δομή και θα παρουσιάσουμε συνθήκες, ώστε οι έννοιες “μηδενιστική” και “δυϊκή” να συμπίπτουν. Παράλληλα, θα αναφερθούμε σε υλοποιήση συμπληρουσών απεικονίσεων, μέσω των μηδενιστών.

Τρίτη 27 Νοεμβρίου 2012

Μαρία Παπατριανταφύλλου (ΕΚΠΑ) "Διαφορική Γεωμετρία σε τυχαίους τοπολογικούς χώρους: Διαφορικός Λογισμός και Ομάδες Lie"

H γεωμετρία των διαφορικών πολλαπλοτήτων αναπτύσσεται σε χώρους που είναι τοπικά ευκλείδιοι. Ομως, αυτή η τοπική ομοιότητα είναι πολύ ισχυρή υπόθεση και δεν διατηρείται κάτω από πολύ απλές “πράξεις” όπως η επιλογή ενός τυχαίου υποσυνόλου, τα άπειρα γινόμενα, τα προβολικά και επαγωγικά όρια, οι κλάσεις ισοδυναμίας. Μέχρι σήμερα αναπτύχθηκαν διάφορες θεωρίες που εφοδιάζουν με διαφορική δομή χώρους όπως οι ανωτέρω. Οι προσεγγίσεις αυτές αφορούν ειδικές περιπτώσεις και δεν συσχετίζονται μεταξύ τους.

Εδώ εισάγουμε, πάνω από τυχαίο τοπολογικό χώρο, μια έννοια “διαφορικής δομής” που γενικεύει όλες τις προηγούμενες και ορίζουμε “μορφισμό” μεταξύ διαφορικών δομών, ώστε να προκύπτει μια αντίστοιχη κατηγορία. Κατόπιν παρουσιάζουμε δύο εφαρμογές:

(α) οι ιδιότητες της κατηγορίας αυτής οδηγούν σε ένα “αφηρημένο διαφορικό λογισμό”, και

(β) οι τοπολογικές ομάδες με την ανωτέρω διαφορική δομή έχουν ιδιότητες των ομάδων Lie: διαθέτουν αριστερά αναλλοίωτα διανυσματικά πεδία και συζυγή παράσταση σε μια αντίστοιχη άλγεβρα Lie.

Τρίτη 13 Νοεμβρίου 2012

Μιχάλης Μαλιάκας (ΕΚΠΑ) "Επί της διάστασης Weyl των Schur αλγεβρών"

Η κατηγορία των ομογενών πολυωνυμικών αναπαραστάσεων της ομάδας G=GLn(k) βαθμού r, όπου k σώμα, είναι ισοδύναμη με την κατηγορία των S(n,r)-προτύπων, όπου S(n,r) είναι η άλγεβρα Schur της G βαθμού r. Στο πρώτο μέρος της ομιλίας θα αναφερθούμε σε βασικές ιδιότητες και μερικά ανοικτά προβλήματα της θεωρίας αναπαραστάσεων της S(n,r). Στο δεύτερο μέρος της ομιλίας θα εξετάσουμε ένα από τα προβλήματα αυτά, τον προσδιορισμό της διάστασης Weyl της S(n,r) με έμφαση στην περίπτωση n=2.

Τρίτη 30 Οκτωβρίου 2012

Αριστείδης Κοντογιώργης (ΕΚΠΑ) "Διοφαντικές εξισώσεις, θεωρία κλάσεων σωμάτων, κρυπτογραφία"

Θα παρουσιαστούν αποτελέσματα σχετικά με το πως η ύπαρξη λύσεων modulo δυνάμεις πρώτων ελέγχει την ύπαρξη λύσεων διοφαντικών εξισώσεων πάνω από τους ακέραιους. Στην συνέχεια θα εισαχθούν κατάλληλες γεννήτριες συναρτήσεις που μετρούν το πλήθος λύσεων πάνω από κάθε πεπερασμένο σώμα και θα παρουσιαστεί η σχέση τους με την τοπολογία της κατάλληλης προβολικής πολλαπλότητας.

Θα κλείσουμε με ένα αντίστροφο πρόβλημα: Την κατασκευή ελλειπτικών καμπυλών με εκ των προτέρων γνωστό πλήθος σημείων πάνω από ένα πεπερασμένο σώμα και τις εφαρμογές της κατασκευής αυτής στην κρυπτογραφία.

Τρίτη 16 Οκτωβρίου 2012

Ιωάννης Εμμανουήλ (ΕΚΠΑ) "Ομάδες με ομολογική διάσταση 1"

Οι Stallings και Swan απέδειξαν ότι μια ομάδα είναι ελεύθερη αν και μόνο αν αυτή έχει συνομολογική διάσταση 1. Θα εξετάσουμε αν ισχύει ο ανάλογος ισχυρισμός για την ομολογική διάσταση, δηλαδή αν κάθε πεπερασμένα παραγόμενη ομάδα ομολογικής διάστασης 1 είναι ελεύθερη. Για το σκοπό αυτό, θα χρησιμοποιήσουμε δύο μεθόδους (οι οποίες είναι στη φιλοσοφία τους ανάλογες μιας κλασικής τεχνικής της Θεωρίας Αριθμών): Η πρώτη μέθοδος θεωρεί εμφυτεύσεις του δακτυλίου της ομάδας σε κατάλληλες άλγεβρες τελεστών, ενώ η δεύτερη θεωρεί πηλίκα του δακτυλίου της ομάδας ως προς κατάλληλα ιδεώδη.

Τρίτη 2 Οκτωβρίου 2012

Μαρία Φραγκουλοπούλου (ΕΚΠΑ) "Τοπολογικές ∗− ‘Αλγεβρες και ο ρόλος τους στη Μαθηματική Φυσική"

Oι τοπολογικές άλγεβρες εισήχθησαν το 1946 από τον Richard Arens . Η θεμελίωση της ευρείας υποοικογένειας των π−κυρτών αλγεβρών έγινε το 1952, ανεξάρτητα, από τους R.Arens και E. Michael . Οι πλήρεις π−κυρτές άλγεβρες αποτελούν γενίκευση των αλγεβρών Banach. Η σημασία των τοπολογικών αλγεβρών τονίστηκε ήδη από το 1950, από τον M.A.Naimark, αλλά η μελέτη τους σε σχέση με τη μαθηματική φυσική ξεκινά τη δεκαετία του 1960. Η εμφάνιση αλγεβρικών ιδεών στην κβαντική θεωρία αρχίζει το 1925 με τον Heisenberg που πρώτος (μαζί με τους Max Born και Pascual Jordan) συνέδεσε τις φυσικές ιδιότητες των σωματιδίων με άπειρους πίνακες. Λίγα χρόνια αργότερα, ο von Neumann δημιούργησε ένα μαθηματικό πλαίσιο για την κβαντική μηχανική που περιέχεται στο βιβλίο του “Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik”(1932). Συγκεκριμένα, διατύπωσε την έννοια του Hilbert χώρου, τελεστών πάνω σ’ ένα τέτοιο χώρο, ιδιαίτερα αυτοσυζυγείς τελεστές, τη συνακόλουθη φασματική θεωρία, τις άλγεβρες von Neumann, κ.λ.π. Ήταν πολύ αργότερα, το 1962, όταν οι Borchers και Uhlmann χρησιμοποίησαν παραστάσεις τοπολογικών ∗-αλγεβρών για την επαναδιατύπωση των αξιωμάτων του Wightman για την κβαντική θεωρία πεδίου, τονίζοντας ότι η καθυστέρηση μιας τέτοιας θεώρησης οφείλεται στην έλλειψη επαρκούς ανάπτυξης της θεωρίας των “μη-νορμαρισμένων” τοπολογικών ∗-αλγεβρών.

Μέχρι τότε, οι ∗-άλγεβρες που εχρησιμοποιούντο στη μαθηματική φυσική, ήταν οι C∗− και von Neumann άλγεβρες (που είναι άλγεβρες φραγμένων τελεστών). Μετά τη δουλειά των Borchers και Uhlmann άρχισε να αναπτύσσεται συστηματικά η θεωρία των αλγεβρών μη–φραγμένων τελεστών. Έτσι, στις αρχές της δεκαετίας του 1970, δημιουργήθηκαν 3 κέντρα μελέτης τέτοιων αλγεβρών. Ένα στην Αμερική (Pennsylvania) με επί κεφαλής τον R.Powers, ένα άλλο στη Λειψία υπό τον G.Lassner και το τρίτο στη Fukuoka της Ιαπωνίας υπό τον A.Inoue.

Αφου παρουσιάσουμε αρκετά παραδείγματα (μη–νορμαρισμένων) τοπολογικών (∗)-αλγεβρών, θα σχολιάσουμε κάποια αντιπροσωπευτικά αποτελέσματα της έρευνάς μας, και θα τελειώσουμε με ένα σχετικά πρόσφατο αποτέλεσμα από κοινού με τους A.Inoue και Κ.-D.Kuersten, σύμφωνα με το οποίο, η πλήρωση μιας C∗−άλγεβρας ως προς μία κατάλληλη τοπικά κυρτή τοπολογία, μικρότερη εκείνης της δοθείσης C∗−νόρμας, είναι μία άλγεβρα μη–φραγμένων τελεστών. Τα πλέον βασικά παραδείγματα τέτοιων τελεστών είναι η ροπή p και θέση q ενός σωματιδίου στη διάσταση 1, με “κοινό” πεδίο ορισμού το χώρο του Schwartz S(ℝ), πυκνού στο χώρο Hilbert L2(ℝ) και αναλλοίωτου από τους p,q.

Βιβλιογραφία

J.-P. Antoine, A. Inoue and C. Trapani, Partial ∗–algebras and Their Operator Realizations, Kluwer Academic, Dordrecht, 2002.

F. Bagarello, M. Fragoulopoulou, A. Inoue, C. Trapani, The completion of a C∗−algebra with a locally convex topology, J. Operator Theory 56:2(2006), 357–376.

M. Fragoulopoulou, A. Inoue, and K.-D. Kuersten, On the completion of a C∗ –normed algebra under a locally convex algebra topology, Contemp. Math. 427 (2007), 155–166.

F. Bagarello, M. Fragoulopoulou, A. Inoue, C. Trapani, Locally convex quasi C∗−normed algebras, J. Math. Anal. Appl. 366(2010), 593-606.

A. Inoue, Tomita–Takesaki Theory in Algebras of Unbounded Operators, Lecture Notes Math. 1699, Springer, Berlin, 1998. 6. K. Schmuedgen, Unbounded Operator Algebras and Representation Theory, Birkhaeuser–Verlag, Basel, 1990.