| Παράγραφοι σημειώσεων* |
Προτεινόμενες ασκήσεις* |
|||
| Μάθημα 1 | Πέμπτη 1/10 | 1.1, 1.2, 2.1 | Παραγόμενη σ-άλγεβρα. Δεσμευμένη μέση τιμή. | |
| Μάθημα 2 | Τρίτη 6/10 | 2.1, 2.2, 2.3 | Ιδιότητες της δεσμευμένης μέσης τιμής, ως το Πόρισμα 2.14. | 2.2-2.8, 2.11-2.13 |
| Μάθημα 3 | Πέμπτη 8/10 | 2.3, 2.4, 3.1 | Η δεσμευμένη μέση τιμή στον L^2 ως προβολή. Ασκήσεις.
Ορισμός των martingale, submartingale, supermartingale. | 2.9, 2.10 |
| Μάθημα 4 | Τρίτη 13/10 | 3.1-3.3 | Παραδείγματα martingales, βασικές ιδιότητες. Το διακριτό στοχαστικό ολοκλήρωμα. | 3.1-3.5 |
| Μάθημα 5 | Πέμπτη 15/10 | 3.4, 3.5 | Χρόνοι διακοπής. Το θεώρημα επιλεκτικής διακοπής. | 3.6-3.9 |
| Μάθημα 6 | Τρίτη 20/10 | 3.6, 3.7 | Εφαρμογές του θεωρήματος επιλεκτικής διακοπής. Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 3. Η ανισότητα Doob. | 3.10-3.13 |
| Μάθημα 7 | Πέμπτη 22/10 | Η κάλπη του Polya. Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 3. | ||
| Μάθημα 8 | Τρίτη 27/10 | 4.1, 4.2, 5.1 | Ανελίξεις. Ισοδυναμία ανελίξεων. Ορισμός της κίνησης Brown. | 4.1 |
| Μάθημα 9 | Πέμπτη 29/10 | 5.2, 5.3 | Απλές ιδιότητες της κίνησης Brown.
Επισκέψεις στο 0. Ασκήσεις. | 5.1-5.3, 5.5-5.9 |
| Μάθημα 10 | Τρίτη 3/11 | 5.5, 5.6, 4.3, 7.1 | Ασκήσεις. Πολυδιάστατη κίνηση Brown. Το θεώρημα Donsker.
Martingales και χρόνοι διακοπής σε συνεχή χρόνο. Martingales σχετικά με την κίνηση Brown. | 5.11, 4.2-4.5 |
| Μάθημα 11 | Πέμπτη 5/11 | 7.1, 7.2, 8.3 |
Martingales σχετικά με την κίνηση Brown και εφαρμογές. Ασκήσεις. Κύμανση και τετραγωνική κύμανση για την κίνηση Brown (ως Ορισμό 8.5). | 7.1-7.5 |
| Μάθημα 12 | Τρίτη 10/11 | 8.3, 9.1 |
Κύμανση και τετραγωνική κύμανση για την κίνηση Brown. Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 8. Το ολοκλήρωμα Riemann-Stieltjes. | 8.1-8.4, 8.6, 8.7 |
| Μάθημα 13 | Πέμπτη 19/11 | 9.2, 9.3 | Ορισμός του ολοκληρώματος Itô (ως το Πόρισμα 9.11). | 9.1-9.4 |
| Μάθημα 14 | Τρίτη 24/11 | 9.3, 9.4 |
Ολοκλήρωμα Itô σε πεπερασμένο διάστημα. Υπολογισμοί ολοκληρωμάτων με τον ορισμό. 'Ασκηση 9.7. | 9.5-9.8 |
| Μάθημα 15 | Πέμπτη 26/11 | 10.1, 11.1 |
Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 9. Συνεχής εκδοχή του ολοκληρώματος. Επέκταση του σε περισσότερους ολοκληρωτέους. | 10.1, 10.2 |
| Μάθημα 16 | Τρίτη 1/12 | 4.3, 11.1, 11.2, 12.1 |
Local martingales. Πρόταση 11.5. Ανελίξεις Itô. Ολοκλήρωση ως προς ανέλιξη Itô. Τύπος Itô, πρώτη μορφή. | 12.1, 12.2 |
| Μάθημα 17 | Πέμπτη 3/12 | 12.2, 12.3, 12.4 |
Γενικότερες μορφές του τύπου του Itô. Ανελίξεις Itô σε πολλές διαστάσεις. | 12.3, 12.4 |
| Μάθημα 18 | Τρίτη 8/12 | 12.4, 12.5 | Τύπος Itô για ανελίξεις Itô και σε γενικό χωρίο. Ασκήσεις. | 12.5, 12.6 |
| Μάθημα 19 | Πέμπτη 10/12 | 13.1, 13.2 |
Αρμονικές συναρτήσεις και το πρόβλημα εξόδου από δακτύλιο για την κίνηση Brown. Επαναληπτικότητα. | |
| Μάθημα 20 | Τρίτη 15/12 | 14.1-14.3 | Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις. Μέχρι το Παράδειγμα 14.2. | 14.1-14.3 |
| Μάθημα 21 | Πέμπτη 17/12 | 14.4, 15.2, 15.3 | Το θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας. Ειδικές μορφές ΣΔΕ. | 15.1-15.4 |
| Μάθημα 22 | Τρίτη 22/12 | 16.1-16.6 | Ασκήσεις στην επίλυση ΣΔΕ. Χαρτοφυλάκια και arbitrage. | |
| Μάθημα 23 | Πέμπτη 7/1 | 17.1, 17.2, 18.1, 18.2 | Ευρωπαϊκά παράγωγα. Παραγωγή της εξίσωσης Black Scholes. | 17.1 |
| Μάθημα 24 | Τρίτη 12/1 | 18.2-18.4, 4.4 |
Αναγωγή της εξίσωσης Black-Scholes στην εξίσωση θερμότητας. Ορισμός ιδιοτήτων Markov. Επαναληπτικές ασκήσεις (επιπλέον ώρα). | |
| Μάθημα 25 | Πέμπτη 14/1 | 6.1-6.3 |
Ισχυρή ιδιότητα Markov για την κίνηση Brown και εφαρμογές της. Επαναληπτικές ασκήσεις (επιπλέον ώρα). |