Περιλήψεις ομιλιών

1) Ανδρέας Αναστασίου. Εισαγωγή στη Μέθοδο του Stein για την αξιολόγηση της ποιότητας προσεγγιστικών αποτελεσμάτων για κατανομές.

Η Μέθοδος του Stein αποτελεί μία συλλογή εργαλείων πιθανοθεωρητικής φύσεως με σκοπό την εξεύρεση άνω φραγμάτων σχετικά με την απόσταση μεταξύ δύο κατανομών. Μολονότι η συγκεκριμένη μέθοδος έχει αρχικά αποτελέσει το αντικείμενο εκτενούς έρευνας στις Πιθανότητες, οφείλουμε να πούμε ότι τουλάχιστον την τελευταία δεκαετία έχει οδηγήσει στη δημοσίευση σημαντικότατων αποτελεσμάτων στη Στατιστική.
Ο σκοπός αυτής της σειράς διαλέξεων είναι διττός. Αρχικά, να γνωρίσουμε και να κατανοήσουμε τη σημαντικότητα των βασικών εργαλείων της Μεθόδου του Stein, και κατά δεύτερον να εφαρμόσουμε ορισμένα αποτελέσματα της μεθόδου για την ανεύρεση πλήρως υπολογισίμων άνω φραγμάτων, τα οποία χρησιμοποιούνται για την αξιολόγηση της ποιότητας προσεγγιστικών αποτελεσμάτων για κατανομές όταν έχουμε πεπερασμένο πλήθος δεδομένων. Θα επικεντρωθούμε σε περιπτώσεις όπου η ασυμπτωτική κατανομή είναι η κανονική κατανομή. Για παράδειγμα, μέσω άνω φραγμάτων θα αξιολογήσουμε την ποιότητα ενός θεμελιώδους αποτελέσματος στη Στατιστική Θεωρία: αυτό της ασυμπτωτικής κανονικότητας της Εκτιμήτριας Μεγίστης Πιθανοφάνειας.

2) Παύλος Τσατσούλης. Εισαγωγή στις ιδιάζουσες στοχαστικές μερικές διαφορικές εξισώσεις.

Αυτή η σειρά διαλέξεων αποτελεί μια εισαγωγή στην θεωρία επίλυσης ιδιαζουσών Στοχαστικών Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων (singular SPDEs). Θα εστιάσουμε στην απλούστερη περίπτωση μίας τέτοιας εξίσωσης, η οποία δίνεται από το ελλειπτικό μοντέλο \(\phi^4\) στις τέσσερεις διαστάσεις με περιοδικές συνοριακές συνθήκες, \[ (-\Delta+1)\, \phi(x) = - \phi^3(x) + \sigma \ \xi(x), \quad x\in \mathbb{T}^4, \] όπου \(\mathbb{T}\) είναι ο μονοδιάστατος τόρος, \(\sigma\in(0,1]\), και \(\{\xi(x)\}_{x\in \mathbb{T}^4}\) οικογένεια ανεξάρτητων γκαουσιανών τυχαίων μεταβλητών με μέση τιμή μηδέν και συνδιακύμανση \[ \mathbf{E} \ \xi(x)\xi(y) = \delta(x-y). \] Λόγω της μη-ομαλότητας του \(\xi\), είναι γνωστό ότι δεν υπάρχουν κλασικές λύσεις για την πιο πάνω εξίσωση. Σκοπός μας είναι να εξηγήσουμε πώς η εξίσωση αυτή μπορεί να τροποποιηθεί ώστε να μπορεί να επιλυθεί, διατηρώντας όμως τις βασικές της ιδιότητες. Η διαδικασία αυτή θα χωριστεί σε δύο στάδια:
  1. Στο πρώτο στάδιο, θα κατασκευάσουμε μια οικογένεια τυχαίων μεταβλητών (ενισχυμένα δεδομένα) βασιζόμενοι στην κατανομή του \(\xi\). Για αυτή την κατασκευή θα χρησιμοποιήσουμε εργαλεία από τη θεωρία πιθανοτήτων, πιο συγκεκριμένα την λεγόμενη ανισότητα Spectral Gap.
  2. Στο δεύτερο στάδιο, θα χρησιμοποιήσουμε τα ενισχυμένα δεδομένα σε συνδυασμό με την κλασική θεωρία Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων για να αποδείξουμε ύπαρξη λύσεων.

3) Narayanaswamy Balakrishnan. Dimension Reduction and Variable Selection for High-Dimensional Multivariate Linear Regression.

This talk will consist of two parts. In the first part, I will discuss reduced rank regression with matrix projections for high-dimensional multivariate linear regression, and present some technical results, simulation study and a case study illustrating the results and methods. In the second part of the talk, I will discuss envelope-based reduced rank regression for high-dimensional multivariate linear regression and present the corresponding results, and make some comparative comments with the first part.